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线代知识整理/线性代数知识点总结

2第1题看不清了 从第二题开始了啊

这个行列式其实你如果知道公式的话结果直接就出来了这个行列式只有两个数x和a公式好像是 主对角线元素x+（n-1）an是阶数记得不是很清楚,你可以用三阶行列式推一下

另外一个笨的方法是化简,一般直接用第一列,用第一行乘以-x/a后加到每一行,可以扒皮算出

3这题的方法可以同上,不过挺麻烦的,我只给你思路一般都是扒皮降阶

4初等变换,其实就是以某一行（一般用行不用列,而且一般以第一行为准）,乘以一个数加到第二行后使其首项为0,这里乘以-3,-3+3=0同理,1x-5+5=0目的是为了降阶你可以算算

5克莱姆法则算的时候是这样的：x1=d1/d0以此类推就是未知数前系数组成的行列式的值,d1就是用等号右边的列替换d0行列式中x1前的系数,其他保持不变,也就是求哪个未知数就用等号右边的列替换d0行列式的对应列,这是我自己总结的,好记,书上没有下面你可以类推

6实对称矩阵可以对角化,他的对角阵就是他的特征值为主对角线的矩阵表示出来后其实是转化成求解的方程组

71这个还是比较好球的|A|=x1x2相乘可知另一个特征值为-2

又有 实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交,可以设另一个特征向量为（x1 x2）,两个向量相乘为0还是化成求二次方程的解

2这题是吓唬你的,看你能不能理解概念的,正交矩阵Q其实就是上面求的特征向量组成的矩阵你直接表示出来Q^-1AQ=B即可,因为下面要用到求A

3Q^-1AQ=B 楼主,现在B知道了,Q也知道了,Q^-1肯定能求的,这就可以表示成A=别告诉我你不会算的啊

大一线性代数的知识点128

2011年线性代数必考的知识点；1、行列式；1n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分；①、Aij和aij的大小无关；；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余；ij；Mij；4设n行列式D：；n(n1)；将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2；1，则D1(1)D；n(n1)；将D顺时针或逆时针旋转90；，所得行列式为D2，则

2011年线性代数必考的知识点

1、行列式

1 n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为行列2n式； 2 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3

代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)

ij

Mij

4 设n行列式D：

n(n1)

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2

1，则D1(1)D

；

n(n1)

将D顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为D2，则D2(1)

2

D

；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

2

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

n(n1)

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2

； ⑤、拉普拉斯展开式：

AOCC

BAO

B

AB、

CAOAB

OB

C(1)

mn

AB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6 对于n阶行列式

A

，恒有：EAn

(1)

k

Sk

k

n，其中Sk为k阶主子式；k1

7 证明A0的方法：

①、AA； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax

0

，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1

A

是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax

0

有非零解；

bRn

，Ax

b

总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A

的特征值全不为0； ATA

是正定矩阵；

AA

的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；

1T

2 对于n阶矩阵A：AAAAAE 无条件恒成立； 3

(A)(A)(AB)

T

T

1

(A)

1T

(A)

T1

(A)

T

(A)

1

T

1

BA(AB)BA(AB)B

1

A

4 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

若

A1A

A2

As

，则：

Ⅰ、AA1A2As；

A11OBAOCBOB

1

Ⅱ、A

1

A2

1

1

As

；

A

②、

OO③、

BA④、

OA⑤、

C

A1OO1

AA1O

O

；（主对角分块） 1BB

；（副对角分块） O

1

1

1

1

1

ACB

B

1

；（拉普拉斯）

1

1

A11

BCAO1B

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F

ErO

O

；

Omn

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(A,E)(E,X)，则A可逆，且X

r

A

1

；

c

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

r

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

b

，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x

Ab

1

；

4 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、

2

，左乘矩阵An

，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,

j)

1

E(i,j)，例如：1

1

1

1

1

1

1

1

1

1k

；

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))1

1

，例如：E(i())

k

k

1

1

(k0)1

；

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1

1

E(ij(k))，如：1

k1

1

1

k

(k0)；

1

1

5 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)

r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0

，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0

解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如

0

1b的矩阵：利用二项展开式；

00

1

n

二项展开式：(ab)

n

C0

an

C1n1

1

n

n

a

bCma

nm

11mmm

n

b

m

C

nn

ab

n1

Cnbn

n

C

n

ab

n；

m0

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

Ⅱ、Cm

n(n1)(nm1)

0n

n123m

n!m!(nm)!CnCn1

n

Ⅲ、组合的性质：C

mn

C

nmC

mmm1r2

n

rCr

r1

n

n1

Cn

Cn

C

n

nnCn1

；

r0

③、利用特征值和相似对角化： 7 伴随矩阵：

nr(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A)

1

r(A)n1；

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值：A

1

A

(AXX,AAAAX

X)；

③、AAA1、AA

n1

8 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax

b

为n元方程；

10 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2

①、

axaxaxb

m22nmnnm11

a11

②、a21

am1

a12a22am2

a1n

a2n

amn

；

x1b1x2b

2Axbxmbm

（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

③、a

1

a2

an

x1x2

xnb1

（全部按列分块，其中b2

bn

）；

④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1

m

个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

1TT2

TTT

m个n维行向量所组成的向量组B：1,2,,m构成mn矩阵B

Tm

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2 ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

Axb是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出

AXB是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示

3 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) 4 5

r(AA)r(A)

T

；(P101例15)

0,

n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关 ②、,线性相关

；

坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

6 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；

s

；

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解； r(A)r(A,B)

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B) ①、矩阵行等价：A~B

cr

8 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

PAB

（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩； 10 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13 ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn r(A)n、P的行向量线性无关； 14 1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0成立；（定义）

(,,,)

12s

x1x2

0有非零解，即Ax0xs

有非零解；

r(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax16 若为Ax

b

0

的解集S的秩为：r(S)nr；

的一个解，1,2,,nr为Ax

0

的一个基础解系，则,1,2,,nr线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1 正交矩阵

AAE

T

或A1

A

T

（定义），性质：

10

ijij

(i,j1,2,n)

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A1

A

T

；

也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2][b1,b1]

b1

brar

[b1,ar

]b[2ar,]br[ar,]1

b1b2br; 1

[b1,b1]b[2b,2]br[br1,1]

3 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4 ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

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图3给出了一组A，B，图123是一种普适的方法，用到了等价标准型和广义初等变换。在后面给出了一个特殊的方法，只用到了方程组之类的知识。

方法一（见图123）:利用等价标准型型的一个分解，可以将任意方阵分解为一个n️×r的列满秩矩阵和一个r×n的行满秩矩阵的乘积。而本题矩阵33正好秩为2，要求的A与B正好也是32，23，所以很巧可以做。

方法二（见图56）:这个方法是我试探写出来的，我随便取了A的前两行，B的前两列，使得左上角22的位置成立了，然后列方程组使其余地方也成立，结果方程组正好有唯一解。。。这个方法可能不好理解，详细见。

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