行列式化简可用行列交替
可利用行列式展开定理降阶
矩阵一般用行变换
只有特殊情况才用列变换
求梯矩阵或行简化梯矩阵: 只用行变换
求等价标准形 可混用
解矩阵方程(XA=B): 只用列变
解矩阵方程(AX=B): 只用行变
求矩阵的逆: 只用行变
求极大无关组: 只用行变
求线性表示: 只用行变
矩阵的秩: 可混用
解线性方程组: 基本上只用行变换; (列变换只在理论证明时用一下, 目的是调换未知量的顺序)
^_^
解：
楼下引用的中，对于行列式的起源与发展给出了一个较为完整的说明；下面我从理解它的角度给出一点推导，希望对你有所帮助。
行列式是一种数学运算符号，是在求解线性方程组的过程中，对一些有规律的综合算式给出的在形式有一定规则的定义。首先以二元一次方程组为例，二元一次方程组的一般形式为：
a1 x + b1 y = c1; (1)
a2 x + b2 y = c2; (2)
利用消元法，(1)b2 - (2)b1 可以得到：
( a1b2 - a2b1)x = (c1b2 - c2 b1)
==> x = (c1b2 - c2 b1)/(a1b2 - a2b1)
同理可以得到：
y = (c1 a2 - c2 a1 )/ (a1b2 - a2b1)
如果我们把方程组的系数提取出来摆放好，就是：
a1 b1
a2 b2
不难发现x,y分母的表达式就是两对角线的数相乘之后再相减的结果；
a1 b2所在的对角线称作主对角线，两项的积前面加正号；a2 b1所在的对角线称作副对角线，两项的积前面加负号，然后二者求和。我们把4个数的这种运算规则用一个数学符号来表示，就是行列式| |，然后把参与运算的4个数按照他们在方程组中的位置摆放在行列式内，这就是2x2行列式的数学意义。
现在，二元一次方程组的解可以改写为：
| c1 b1| | a1 c1|
| c2 b2| | a2 c2|
x= ------------- ； y = ---------------
| a1 b1| | a1 b1|
| a2 b2| | a2 b2|
可以看出，x，y的解的分子部分，就是用常数项代替系数行列中对应的x，y系数项后构成的行列式的值；行列式形式不仅很好的对应了方程本身的书写形式，而且解的形式也便于记忆，对于多变量线性方程更是如此。
下面我简略的说一下三元线性方程组中，行列式的形式上的变化：
二元一次方程组的一般形势为：
a1 x + b1 y + c1 z = d1 (1)
a2 x + b2 y + c2 z = d2 (2)
a3 x + b3 y + c3 z = d3 (3)
通过消元法，首先利用第三式消去z项，(1)c3 –(3)c1，(2)c3 - (3)c2得到：
(a1c3 – a3c1)x + (b1c3 - b3c1)y = (d1c3-d3c1) -- (4)
(a2c3 – a3c2)x + (b2c3 - b3c2)y = (d2c3-d3c2) -- (5)
利用二元一次方程组的结果可解出x：
可以看出x的解，分子就是用常数项取代系数行列中x的对应系数构成的行列式的值。
三阶行列式已经具备高阶行列式的一般性质，通常利用三阶行列式研究行列是的一般性质。对于行列式展开式每一项的符号利用行列标号的逆序数来表示，应该这么理解，展开式的每一项的正负是由线性方程组的求解过程决定的，就像（6）式中的x表达式，分子分母每一项的正负已经确定，用行列逆序确定正负只是多年来对于正负号与行列标号之间的关系规律的总结，你需要牢牢地记住它。如果想探究一下，你可以从(6)式中三节行列式与二阶行列式的关系验证一下书中的结论。
祝你学习进步！
行列式的形成来源于线性代数的概念和数学分析的计算方法，应用于解线性方程组、矩阵求逆、矩阵的秩、线性变换、概率论。
行列式（determinant）最早由日本数学家关孝和于1683年发明，在数学领域中被广泛应用。行列式的形成来源于线性代数的概念和数学分析的计算方法。
1、解线性方程组：给定一个线性方程组，可以利用克拉默法则来求解它的未知数。克拉默法则的关键就是计算行列式。
2、矩阵求逆：矩阵求逆也是行列式应用的一个经典问题。通过计算行列式，可以判断矩阵是否可逆，从而求解矩阵的逆。
3、矩阵的秩：矩阵的秩是通过求行列式来计算的。矩阵的秩是研究线性代数和线性方程组时比较重要的一个概念，它可以反映矩阵的线性相关性和线性无关性情况。
4、线性变换：线性变换是研究线性代数时比较重要的一个分支，通过矩阵的秩和行列式可以判断线性变换是否奇异，从而推断线性变换的性质。
5、概率论：行列式在概率论中也有应用，例如在多维随机变量的密度函数中，行列式可以用于表示概率分布区域的大小，从而判断这个区域内发生事件的概率大小。
行列式重要性
行列式是一个非常重要的数学工具，它可以用来解线性方程组、计算逆矩阵、判断矩阵的特征值和特征向量等。行列式可以将矩阵的各种性质聚合到一个单一的数值中，这个数值在某些情况下可以直观地反映出矩阵的特性。
当计算行列式时，我们需要把原始矩阵转化为上三角矩阵，这个过程中需要进行一些列变换，例如交换矩阵的两行或两列、将矩阵的某一行或列乘以一个非零常数等。这些变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题。行列式还可以用来判断矩阵是否可逆、判断矩阵的秩等，这些判断在统计学和物理学中都有应用。
行列式是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。
行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
数学定义
n阶行列式
设
是由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n！项之和
式中k1,k2,,kn是将序列1,2,,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,,kn取遍1,2,,n的一切排列求和，那末数D称为n阶方阵相应的行列式例如，四阶行列式是4！个形为
的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为
(－1)3
若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作
D=|A|=detA=det(aij)
若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵
标号集：序列1,2,,n中任取k个元素i1,i2,,ik满足
1≤i1<i2<<ik≤n(1)
i1,i2,,ik构成{1,2,,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有 个子列因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集，C(n,k)的元素记作σ,τ,,σ∈C(n,k)表示
σ={i1,i2,,ik}
是{1,2,,n}的满足(1)的一个子列若令τ={j1,j2,,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,,ik=jk。
性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
什么是行列式
行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵A映射到一个纯量，记作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维度空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数
行列式的竖直线记法
矩阵A的行列式有时也记作|A|。绝对值和范数|矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵：
，
行列式det(A)也写作 | A | ，或明确的写作：
，
即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代
行列式的历史
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的早期研究
关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念。1545年，卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。
1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。[5]由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。
任意阶数的行列式
1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里尔•克拉默首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。[8]其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在置换的奇偶性上的。
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安•贝祖的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法[10]同是法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德则在1771年的论着中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。
1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本着作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。
行列式的现代概念
进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁•路易•柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟•凯莱在1841年率先使用的）柯西还证明了行列式行列式的性质（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过，但没有证明。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[12]。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔•魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了解析失败 (PNG 转换失败; 请检查是否正确安装了 latex, dvips, gs 和 convert): \lambda 矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔•雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁•查尔•卡塔兰发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系
现代的行列式概念最早在19世纪末传入中国。1899年，华蘅芳和英国传教士傅兰雅合译了《算式解法》十四卷，其中首次将行列式翻译成“定准数”。1909年顾澄在著作中称之为“定列式”。1935年8月，中国数学会审查各种术语译名，9月教育部公布的《数学名词》中正式将译名定为“行列式”。其后“行列式”作为译名沿用至今。
行列式的直观定义
一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：
其中，Sn是集合{1,2,,n}上置换的全体，即集合{1,2,,n}到自身上的一一映射（双射）的全体；
表示对S全部元素的求和，即对于每个σ∈S，在加法算式中出现一次；对每一个满足1≤i,j≤n的数对(i,j)，ai,j是矩阵A的第i行第j列的元素。
σ表示置换σ∈Sn的置换的奇偶性，具体地说，满足1≤i<j≤n但σ(i)>σ(j)的有序数对(i,j)称为σ的一个逆序。
如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) = 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) = − 1。
举例来说，对于3元置换σ=(2,3,1)（即是说σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ) = 1，从而3阶行列式中项a1,2a2,3a3,1的符号是正的。但对于三元置换σ=(3,2,1)（即是说σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ) = − 1，从而3阶行列式中项a1,3a2,2a3,1的符号是负号。
注意到对于任意正整数n，S_n共拥有n个元素，因此上式中共有n个求和项，即这是一个有限多次的求和。
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图1中红线和蓝线）。
σ表示置换σ∈Sn的置换的奇偶性，具体地说，满足1≤i<j≤n但σ(i)>σ(j)的有序数对(i,j)称为σ的一个逆序。
如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) = 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) = − 1。
举例来说，对于3元置换σ=(2,3,1)（即是说σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ) = 1，从而3阶行列式中项a1,2a2,3a3,1的符号是正的。但对于三元置换σ=(3,2,1)（即是说σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ) = − 1，从而3阶行列式中项a1,3a2,2a3,1的符号是负号。
注意到对于任意正整数n，S_n共拥有n个元素，因此上式中共有n个求和项，即这是一个有限多次的求和。
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图1中红线和蓝线）。
2阶矩阵的行列式：
3阶矩阵的行列式：
但对于阶数n≥4的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数 = 2n < (n − 1)n < n! = Sn的元素个数
因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项a1,2a2,3a3,1a4,4就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。
另外，n×n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元向量组成的向量组的行列式
区分：1、对于AnBm型n=1m>1若A化合价等于主族数则为非极性。2、若已知键角(或空间结构)，可进行受力分析，合力为0者为非极性分子。BF3。3、同种原子组成的双原子分子都是非极性分子。4、当中心原子的化合价的绝对值等于该元素的价电子数时，该分子为非极性分子；否则为极性分子。5、共价键看作作用力，不同共价键看作不等的作用力，旅历根据力的合成与分解，看中心原子受力是否平衡，如平衡则为非极性分子；否则为极性分子。
扩展资料：
[telexgzwlkjcn/article/860173html]
[telejnjiankcn/article/714358html]
[rnwmsdd-lockcn]
[telejnjiankcn/article/951467html]
[ymnopwnjwncomcn]
[telejsyanchucn/article/759302html]
[piwoxtjsyuquancn]
[telejsyanchucn/article/237019html]
[telesxhthbcn/article/012835html]
[telesxhthbcn/article/190582html]
[telexayfxjcn/article/093651html]
[telexigumiyecn/article/523798html]
[televaluecarriercn/article/237196html]
[televaluecarriercn/article/279138html]
[telebahuaitop/article/340168html]
[teletyhhmpcn/article/460238html]
[telegzxsdyycn/article/439786html]
[teleleanstartupcn/article/951867html]
用性质化三角计算行列式, 一般是从左到右 一列一列处理
先把一个比较简单(或小)的非零数交换到左上角(其实到最后换也行),
用这个数把第1列其余的数消成零
处理完第一列后, 第一行与第一列就不要管它了, 再用同样方法处理第二列(不含第一行的数)
给你个例子看看哈
2 -5 3 1
1 3 -1 3
0 1 1 -5
-1 -4 2 -3
r1 + 2r4, r2 + r4 (用第4行的 a41=-1, 把第1列其余数消成0 此处也可选a21)
0 -13 7 -5
0 -1 1 0
0 1 1 -5
-1 -4 2 -3 (完成后, a41=-1 所在的行和列基本不动)
r1 + 13r3, r2 + r3 (处理第2列, 用 a32=1 消 a12,a22, 不用管a42 此处也可选a22)
0 0 20 -70
0 0 2 -5
0 1 1 -5 ( 完成 a32=1所在的第3行第4列 基本不动)
-1 -4 2 -3
r1 - 10r2 (处理第3列, 用 a23=1 消 a13, 不用管a33, a43)
0 0 0 -20
0 0 2 -5
0 1 1 -5
-1 -4 2 -3 (完成, 此时是个类似三角形 ^-^ )
r1<->r4, r2<->r3 (交换一下行就完成了, 注意交换的次数会影响正负)
-1 -4 2 -3
0 1 1 -5
0 0 2 -5
0 0 0 -20 (OK!)
行列式 = 40
在计算有字母的行列式时, 注意字母在分母的情况, 要保证分式有意义
一般题目会给出一些约束, 但若没约束时, 要分情况讨论
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