总结线性代数的主要内容

你可以参照下面得纲要，

线性代数

第一章：行列式

考试内容：

行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理

考试要求：

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．

2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．

第二章：矩阵

考试内容：

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵等价 分块矩阵及其运算

考试要求：

1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．

2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．

4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．

5．了解分块矩阵及其运算．

第三章：向量

考试内容：

向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质

考试要求：

1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．

2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．

3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．

4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系

5．了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．

6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．

8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．

第四章：线性方程组

考试内容:

线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解

考试要求

l．会用克莱姆法则．

2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．

3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．

5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．

第五章：矩阵的特征值及特征向量

考试内容:

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵

考试要求:

1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量

2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

第六章：二次型

考试内容：

二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性

考试要求：

1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．

2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．

3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法

概率与统计

第一章：随机事件和概率

考试内容：

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求：

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．

第二章：随机变量及其分布

考试内容：

随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求：

1．理解随机变量的概念．理解分布函数

的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布

4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布

及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

第三章：多维随机变量及其分布

考试内容：

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求：

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件

3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布 的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布

大一线性代数的知识点128

2011年线性代数必考的知识点；1、行列式；1n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分；①、Aij和aij的大小无关；；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余；ij；Mij；4设n行列式D：；n(n1)；将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2；1，则D1(1)D；n(n1)；将D顺时针或逆时针旋转90；，所得行列式为D2，则

2011年线性代数必考的知识点

1、行列式

1 n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为行列2n式； 2 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3

代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)

ij

Mij

4 设n行列式D：

n(n1)

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D2

1，则D1(1)D

；

n(n1)

将D顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为D2，则D2(1)

2

D

；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

2

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

n(n1)

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2

； ⑤、拉普拉斯展开式：

AOCC

BAO

B

AB、

CAOAB

OB

C(1)

mn

AB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6 对于n阶行列式

A

，恒有：EAn

(1)

k

Sk

k

n，其中Sk为k阶主子式；k1

7 证明A0的方法：

①、AA； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax

0

，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1

A

是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax

0

有非零解；

bRn

，Ax

b

总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A

的特征值全不为0； ATA

是正定矩阵；

AA

的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；

1T

2 对于n阶矩阵A：AAAAAE 无条件恒成立； 3

(A)(A)(AB)

T

T

1

(A)

1T

(A)

T1

(A)

T

(A)

1

T

1

BA(AB)BA(AB)B

1

A

4 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

若

A1A

A2

As

，则：

Ⅰ、AA1A2As；

A11OBAOCBOB

1

Ⅱ、A

1

A2

1

1

As

；

A

②、

OO③、

BA④、

OA⑤、

C

A1OO1

AA1O

O

；（主对角分块） 1BB

；（副对角分块） O

1

1

1

1

1

ACB

B

1

；（拉普拉斯）

1

1

A11

BCAO1B

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F

ErO

O

；

Omn

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(A,E)(E,X)，则A可逆，且X

r

A

1

；

c

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

r

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

b

，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x

Ab

1

；

4 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、

2

，左乘矩阵An

，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,

j)

1

E(i,j)，例如：1

1

1

1

1

1

1

1

1

1k

；

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))1

1

，例如：E(i())

k

k

1

1

(k0)1

；

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1

1

E(ij(k))，如：1

k1

1

1

k

(k0)；

1

1

5 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)

r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0

，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0

解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如

0

1b的矩阵：利用二项展开式；

00

1

n

二项展开式：(ab)

n

C0

an

C1n1

1

n

n

a

bCma

nm

11mmm

n

b

m

C

nn

ab

n1

Cnbn

n

C

n

ab

n；

m0

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

Ⅱ、Cm

n(n1)(nm1)

0n

n123m

n!m!(nm)!CnCn1

n

Ⅲ、组合的性质：C

mn

C

nmC

mmm1r2

n

rCr

r1

n

n1

Cn

Cn

C

n

nnCn1

；

r0

③、利用特征值和相似对角化： 7 伴随矩阵：

nr(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A)

1

r(A)n1；

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值：A

1

A

(AXX,AAAAX

X)；

③、AAA1、AA

n1

8 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax

b

为n元方程；

10 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2

①、

axaxaxb

m22nmnnm11

a11

②、a21

am1

a12a22am2

a1n

a2n

amn

；

x1b1x2b

2Axbxmbm

（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

③、a

1

a2

an

x1x2

xnb1

（全部按列分块，其中b2

bn

）；

④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1

m

个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

1TT2

TTT

m个n维行向量所组成的向量组B：1,2,,m构成mn矩阵B

Tm

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2 ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

Axb是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出

AXB是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示

3 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) 4 5

r(AA)r(A)

T

；(P101例15)

0,

n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关 ②、,线性相关

；

坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

6 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；

s

；

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解； r(A)r(A,B)

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B) ①、矩阵行等价：A~B

cr

8 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

PAB

（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩； 10 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13 ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn r(A)n、P的行向量线性无关； 14 1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0成立；（定义）

(,,,)

12s

x1x2

0有非零解，即Ax0xs

有非零解；

r(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax16 若为Ax

b

0

的解集S的秩为：r(S)nr；

的一个解，1,2,,nr为Ax

0

的一个基础解系，则,1,2,,nr线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1 正交矩阵

AAE

T

或A1

A

T

（定义），性质：

10

ijij

(i,j1,2,n)

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A1

A

T

；

也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2][b1,b1]

b1

brar

[b1,ar

]b[2ar,]br[ar,]1

b1b2br; 1

[b1,b1]b[2b,2]br[br1,1]

3 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4 ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

三亿文库3yuu456com包含各类专业文献、行业资料、中学教育、生活休闲娱乐、应用写作文书、专业论文、高等教育、文学作品欣赏、大一线性代数的知识点128等内容。

在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。但是线性代数教学却对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的应用只有算解线性方程组，但这只是线性代数很初级的应用。而戈性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。

线性代数被不少同学称为天书，足见这门课给同学们造成的困难。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代数也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。

线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去，是学习线性代数时立养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属生。由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。

线性代数课程特点比较鲜明：概念多、运算法则多内容相互纵横交错正是因为线性代数各知识点之自有着千丝万缕的联系，线性代数题的综合性与灵活性较大，线性代数的概念多比如代数余子式，伴随拒阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，矩阵的秩，线性组合与线性表示，线性相关与线性无关等。

线性代数中运算法则多比如行列式的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解等。

应用到的东西才不容易忘，比如高等数学。因为高等数学在很多课程中都有广泛的应用，比如在开没的大学物理和机械设计课中。所以要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。也可以武着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理。

线性代数作为数学的一门，体现了数学的思想。数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时光解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。

通过思想方法上的联系和内容上的关系，线性代数中的内容以及线性代数与高等数学甚至其它学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线代就不会像原来那样琐碎了。

在线性代数的学习中，注重知识点的街接与转换，努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点相连接。

求出特征值 λ1,λ2,,λn 与对应的特征向量 ξ1,ξ2,,ξn。当有n个特征向量时，取 P=[ξ1,ξ2,,ξn],  求出 P^(-1)。则有 P^(-1)AP=diag(λ1,λ2,,λn)。

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。

线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。 线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。

中文名

线性代数

外文名

linear algebra

主要问题

线性关系问题

研究对象

向量、矩阵、行列式

应用

抽象代数、泛函分析

学科

数学

定义与历史

概念

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。

历史

九章算术

线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。

由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。

随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。

凯莱

矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。

学术地位

线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。

“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。

如果进入科研领域，你就会发现，只要不是线性的东西，我们基本都不会！线性是人类少数可以研究得非常透彻的数学基础性框架。学好线性代数，你就掌握了绝大多数可解问题的钥匙。有了这把钥匙，再加上相应的知识补充，你就可以求解相应的问题。可以说，不学线性代数，你就漏过了95%的人类智慧！非线性的问题极为困难，我们并没有足够多的通用的性质和定理用于求解具体问题。如果能够把非线性的问题化为线性的，这是我们一定要走的方向！

事实上，微积分“以直代曲”的思想就是将整体非线性化为局部线性的一个经典的例子，尽管高等数学在定义微分时并没有用到一点线性代数的内容。许多非线性问题的处理――譬如流形、微分几何等，最后往往转化为线性问题。包括科学研究中，非线性模型通常也可以被近似为线性模型。随着研究对象的复杂化与抽象化，对非线性问题线性化，以及对线性问题的求解，就难免涉及到线性代数的术语和方法了。从这个意义上，线性代数可以被认为是许多近、现代数学分支的共同基础。

基本介绍

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

向量

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

2第1题看不清了 从第二题开始了啊

这个行列式其实你如果知道公式的话结果直接就出来了这个行列式只有两个数x和a公式好像是 主对角线元素x+（n-1）an是阶数记得不是很清楚,你可以用三阶行列式推一下

另外一个笨的方法是化简,一般直接用第一列,用第一行乘以-x/a后加到每一行,可以扒皮算出

3这题的方法可以同上,不过挺麻烦的,我只给你思路一般都是扒皮降阶

4初等变换,其实就是以某一行（一般用行不用列,而且一般以第一行为准）,乘以一个数加到第二行后使其首项为0,这里乘以-3,-3+3=0同理,1x-5+5=0目的是为了降阶你可以算算

5克莱姆法则算的时候是这样的：x1=d1/d0以此类推就是未知数前系数组成的行列式的值,d1就是用等号右边的列替换d0行列式中x1前的系数,其他保持不变,也就是求哪个未知数就用等号右边的列替换d0行列式的对应列,这是我自己总结的,好记,书上没有下面你可以类推

6实对称矩阵可以对角化,他的对角阵就是他的特征值为主对角线的矩阵表示出来后其实是转化成求解的方程组

71这个还是比较好球的|A|=x1x2相乘可知另一个特征值为-2

又有 实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交,可以设另一个特征向量为（x1 x2）,两个向量相乘为0还是化成求二次方程的解

2这题是吓唬你的,看你能不能理解概念的,正交矩阵Q其实就是上面求的特征向量组成的矩阵你直接表示出来Q^-1AQ=B即可,因为下面要用到求A

3Q^-1AQ=B 楼主,现在B知道了,Q也知道了,Q^-1肯定能求的,这就可以表示成A=别告诉我你不会算的啊