行列式怎么计算的

行列式怎么计算的,第1张

我没有数学软件,就将解题的过程用文字说明一下吧。

(1)n

行列式的主对角元素为

1

n,其他元素均为

2

,于是该行列式第二行的数字都是2。根据行列式得性质可以将行列式第二行提取公因子2

,于是行列式第二行都变成

1,行列式外的系数为

2。

(2)为了化简新的行列式,我们将第二行乘以

-2

分别加到其他各行上,于是除第二行之外,其他所有行的

2

都变成了

0

,主对角线上的元素数字分别减少了2

,变成了

-1,1,1,2,3,4,……,n-3,n-2

最后一行的主对角线元素边成了

n-2

(3)现在的行列式除了第二行全是

1

,其他各行除了主对角线上的元素之外都是

0

,为了计算该行列式的值,将行列式按第一行进行展开

。第一行除了第一个元素是

-1

,其他都是

0

,因此只计算第一个元素的代数余子式即可。于是结果变成

-2乘以一个

n-1

阶行列式的形式,这个

n-1

阶的行列式第一行的元素都是1

,其他各行除了主对角线上的元素不等于

0

,其他元素都是

0

,且从第二行开始的主对角元素分别是

1,2,3,4,……

,n-3

,n-2

(4)新的

n-1

阶行列式为典型的三角行列式,其数值为主对角线各元素的乘积,即

(n-2)!

(此处表示的是

n-2

的阶乘)

(5)最终的结果是

-2[(n-2)!]

行列式的计算方法

1递推法

例1 求行列式的值:

(1)

的构造是:主对角线元全为;主对角线上方第一条次对角线的元全为,下方第一条次对角线的元全为1,其余元全为0;即为三对角线型。又右下角的(n)表示行列式为n阶。

解 把类似于,但为k阶的三对角线型行列式记为。

把(1)的行列式按第一列展开,有两项,一项是

另一项是

上面的行列式再按第一行展开,得乘一个n – 2 阶行列式,这个n – 2 阶行列式和原行列式的构造相同,于是有递推关系:

(2)

移项,提取公因子β:

类似地:

(递推计算)

直接计算

若;否则,除以后移项:

再一次用递推计算:

∴, 当β≠α (3)

当β = α,从

从而。

由(3)式,若。

注 递推式(2)通常称为常系数齐次二阶线性差分方程

注1 仿照例1的讨论,三对角线型的n阶行列式

(3)

和三对角线型行列式

(4)

有相同的递推关系式

(5)

(6)

注意

两个序列

的起始值相同,递推关系式(5)和(6)的构造也相同,故必有

由(4)式,的每一行都能提出一个因子a ,故等于乘一个n阶行列式,这一个行列式就是例1的。前面算出,故

例2 计算n阶范德蒙行列式行列式

解:

即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积

2.拆元法

例3:计算行列式

①×(x + a)

②×(x – a)

3.加边法

例4 计算行列式

分析:这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同根据这一特点,可采用加边法

4.数学归结法

例5 计算行列式

解:

猜测:

证明

(1)n = 1, 2, 3 时,命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形:

故命题对一切自然数n成立。

5消去法求三对角线型行列式的值

例6 求n阶三对角线型行列式的值:

(1)

的构造是:主对角线元全为2,主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1,其余的元全为0。

解 用消去法,把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0:首先从第二行减去第一行的倍,于是第二行变为

其次从第三行减去第二行(指新的第二行,以下同)的倍,则第三行变为

再从第四行减去第三行的倍,则第四行变为

类似地做下去,直到第n行减去第n – 1行的倍,则第n行变为

最后所得的行列式为

(2)

上面的行列式是三角型行列式,它的主对角线元顺次为

93)

又主对角线下方的元全为0。故的值等于(3)中各数的连乘积,即。

注3 一般的三对角线型行列式

(4)

也可以按上述消去法把次对角线元全部消去,得到一个三角型行列式,它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。

6 乘以已知行列式

例7 求行列式的值:

称为循环行列式,各行自左到右均由循环排列而得,并使主对角线元全为

解 设1的立方根为,即

其中i是虚数单位,又

右乘以行列式

(1)

用,得

故(1)的行列式的第一列可由提出公因子,提后的元顺次为,类似地,(1)的行列式的第二列和第三列可提出公因子

于是

因互不相等,帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零,可以从上式的左右两边约去,得

注4 在n阶的一般情形,设1的n次方根为

则得行列式的值为

这里的是由构成的n阶循环行列式:

7 利用线性代数方程组的解

例8 求n阶行列式的值:

(1)

的构造是:第i行的元顺次为

又第n行的元顺次为。

解 (1)的行列式与凡德蒙行列式

(2)

的比值可以看成线性代数方程组

(3)

的解。如能解出,乘以凡德蒙行列式(2),即是原行列式

但方程组(3)又可以看成n次多项式方程

(4)

(t是未知数,看作系数)有n个根

用根与系数的关系,即得

8 递推方程组方法

例9 求行列式的值:

(1)

是n阶行列式(在右下角用(n)表示),其结构是:主对角线元全为x ;主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。

解 从 (1)的行列式的第一列减第二列,第二列减第三列,…,第n – 1列减第n列,得

(2)

上面的行列式按第一行展开,有两项,一项是(x – y)乘一个n – 1阶行列式,这个n – 1阶行列式和(2)中的n阶行列式的构造相同,即上述展开的第一项可表示为;展开的另一项是

故递推式

(3)

若z = y,则上式化为

(4)

类似地有

故可对(4)式递推计算如下:

上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。

把(1)的行列式的y与z对调,这相当于原行列式的行与列互换,这样的做法,行列式的值不变。于是y和z对调后,的值不变,这时(3)式变为

(5)

从(3)与(5)(递推方程组)消去,即(3)式乘以(x – z),(5)乘以(x – y),相减得

注5 当z = y时,行列式也可以用极限计算:

又行列式当z = y时可以用余式定理来做。

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