关于线性代数的几点结论，如何理解与证明，谢谢大家。

1、最简单的理解是初等行变换不改变矩阵的行秩，可逆矩阵就是若干初等矩阵的乘积，因此PA就是对A做初等行变换，那么A,B行秩相等，即行等价

同理，初等列变换不改变列秩，所以B=AQ与A列等价

这里说明一个问题，初等矩阵即可以看成初等行变换，也可以看成初等列变换，两者形式上没有区别

若B=PAQ，则A和B等价，可以看成行等价并且列等价。

2、B=PA，将B和A按照行向量分块，则有

Bi=PAi

由于P可逆，所以线性方程组k1A1+k2A2+……KnAn=0与P(k1A1+k2A2+……KnAn)=k1B1+k2B2+……+knBn=0同解

换言之，初等行变换不改变列向量组的线性关系

同理可以有，初等列变换不改变行向量组的线性关系

1、

(1)因为任意的A，B属于S，都有tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0，所以A+B属于S；对任意实数a，tr(aA)=atr(A)=0，所以aA也属于S。

显然，S对加法成交换群，并满足数乘的条件（都是矩阵的性质），因而S是R^(nn)的子空间。

(2)我们将R^(nn)中的零元素r分解为S和L中的元素和：

如果有两种分解方法r=s1+l1=s2+l2，那么(s1-s2)+(l1-l2)=0。而s1-s2中的对角元素全为0，所以l1-l2的对角元素全为0；而l1-l2是对角矩阵，所以l1-l2=0。由此推出l1=l2，s1=s2。

因此0元素的分解方法唯一，从而R^(nn)是S和L的直和。

(3)L是n维的，所以S是n^2-n维的。

2、

(1)因为<A, B>=tr(AB)满足

<aA, B>=tr(aAB)=atr(AB)=a<A, B>，

<A+B, C>=tr((A+B)C)=tr(AC)+tr(BC)=<A, C>+<B, C>，

<A, B>=tr(AB)=tr(BA)=<B, A>，

<A, A>=tr(A^2)>=0，且等号成立仅当A=0，

因此该定义是内积。

(2)S的互补子空间S'满足任意的S中元素s，S'中元素z，都有<s,z>=tr(sz)=0。

考察矩阵sz的第i行第i列的元素aii。显然，由于s和z的任意性，所有的aii都必须为0。

a11=0z11+s12z21++s1nzn1=0

所以除了z11外所有的zi1=0。

同理除了z22外所有的zi2=0。

……

于是求得z必为对角矩阵。

因此，S的互补子空间是L的子集。

另一方面，对任意L中的元素l，容易验证tr(sl)=0，所以L是S的互补子空间的子集。

从而，S的互补子空间就是L。

(3)由(2)知，M和M'就是S中的元素和L中的元素，因此M'就是A中对角线的元素组成的对角矩阵，M=A-M'。