齐次一阶微分方程详细资料大全

形如y'=f(y/x)的一阶微分方程，称为齐次一阶微分方程。齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。对一阶线性微分方程来说，右端(即不含未知函式及其导数的项)不为零的方程y′+p(x)y= q(x)称为非齐次方程；与此对应的，右端q(x=0的方程y′+p(x)y=0，称为对应的齐次方程。此外，当微分方程的左端是以自变数，未知函式作为变元的齐次函式时，也称为齐次方程。

基本介绍 中文名 ：齐次一阶微分方程 外文名 ：homogeneous differential equation of first order 所属学科 ：数学 相关概念 ：齐次方程，微分方程等 基本介绍,一般解法, 基本介绍 如果对任何 都有 ，则称 是x和y的 齐次函式， 如果取 ，则 。这就是说齐次函式 可改写为 的形式。 一阶微分方程 (其中， 为齐次函式)就叫做 齐次(一阶微分)方程 。或者说，方程 是齐次方程。此外，如果在微分方程的每一项中，因子x和y的幂次的总和都是相等的，则该方程就是 齐次方程 。 例如 都是齐次方程。事实上，式(2)各项同除x，式(3)各项同除以 ，则式(2)和(3)可分别化为 或 和 或 另外，方程 也是齐次方程。事实上，方程(4)右端分子和分母同除以x，则得到齐次方程 一般解法 关于齐次方程 的一般解法如下： 令 所以 ，代入方程(1)，得 即有 方程(2)为可分离变数方程，于是 方程(3)两端积分，得 上述等式可改写为 把 代入式(4)，则得到方程(1)的隐式通解 例1 求方程 的通解。 解： 方程 ，令 ，所以 ，于是方程变为 ，即 ，所以 。积分得通解 ，即 。也可以把方程的隐式通解 改写为显式通解。事实上，因为 ，所以 。

2(1) y' = dy/dx = (y-2x)/(x+2y) = (y/x-2)/(1+2y/x)

令 p = y/x， 则 y = xp，dy/dx = p+xdp/dx

则微分方程化为 p+xdp/dx = (p-2)/(1+2p)

xdp/dx = (p-2)/(1+2p)-p = -2(1+p^2)/(1+2p)

(1+2p)dp/(1+p^2) = -2dx/x

arctanp + ln(1+p^2) = -2lnx + lnC

(1+p^2)e^(arctanp) = C/x^2

(x^2+y^2)e^[arctan(y/x) = C

y(1) = 1 代入，得 C = 2e^(π/4)

则得 (x^2+y^2)e^[arctan(y/x) = 2e^(π/4)

非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解，有非零解，有无穷多解。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

线性化关系

在例子中（不是特例）变量y是x的函数，而且函数和方程的图像一致。

通常线性方程在实际应用中写作：

y=f(x)。

这里f有如下特性：

f(x+y)=f(x)+f(y)。

f(ax)=af(x)。

这里a不是向量。

一个函数如果满足这样的特性就叫做线性函数，或者更一般的，叫线性化。

因为线性的独特属性，在同类方程中对线性函数的解决有叠加作用。这使得线性方程最容易解决和推演。

非零常数是x的零次项，只有零是不定次项，可看成0x,也可看成0x²或者0x³在这里，自然是看成一次的。

齐次线性方程就是方程中所有的项都是一次的（包栝右边的0）方程。

通常说常数项为零的一次方程为齐次线性方程，当然是对的。

齐次或者非齐次微分方程一般都是在线性微分方程的前提下说的

线性微分方程指的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y',y'',y'''……）的次数不大于1

齐次微分方程指的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y',y'',y'''……）的次数都是1,相应的,非齐次微分方程指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y',y'',y'''……）的次数不都是1而这个次数又不大于1,因此非齐次微分方程存在某项次数为0,也就是存在某项不含有未知函数（y）及其导数（y',y'',y'''……）