线性代数的矩阵的本质是什么

没有什么本质可言。看你是从什么角度来看它，都是相对概念。

数可以是向量（比如，全体实数其实就是其自身上的一维向量空间，这样看来，每个实数也可以叫做向量，尽管通常情况下，我们不这么称呼他们，而是叫他们标量），向量也可以是数，关键点是你要把握好定义。

1 向量在线性代数中已经被大大地抽象化了，它不再只是指代几何空间中的标量加方向的概念，相应地，向量空间（也叫线性空间）也不是仅仅指代几何空间了。任何代数结构，只要满足线性空间的那个几个条件，就是向量空间，其中的元素就可以叫做向量。

2 矩阵的概念通常都是当做向量来看，但是在某些特定的情况下，也可以看成“数”。比如，实数域上的2x1的全体矩阵其实就是复数的全体。而且做为线性空间而言，两者同构。

当然是使用初等行变换

1 -1 2 1

0 5 0 0

0 -1 -2 0 r2/5

~

1 -1 2 1

0 1 0 0

0 -1 -2 0 r1+r2，r3+r2

~

1 0 2 1

0 1 0 0

0 0 -2 0 r1+r3，r3/-2

~

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

这样就得到了行最简型

利用两个引理就可以了～

（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0，则r（A）+r（B）<=n

（2）对于n阶矩阵A、B，有r（A+B）<=r（A）+r（B）

证明上面的两个引理：

（1）因为AB=0，所以B的列向量均为AX=0的解，则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数，即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩），从而r（A）+r（B）<=n

（2）设a1，…，an为A的列向量，b1，…，bn为B的列向量，不妨设a1，…，ar为A的列向量的极大线性无关组，b1，…，bl为B的列向量的极大线性无关组，则a1，…，an均可由a1，…，ar线性表出，b1，…，bn均可由b1，…，bl线性表出，从而A+B的列向量a1+b1，…an+bn均可由a1，…，ar，b1，…，bl线性表出，从而r（A+B）<=r（a1，…，ar，b1，…，bl）<=r（a1，…，ar）+r（b1，…，bl）=r（A）+r（B）

现在来证明该题：

利用（1），有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n

又A^2-A=A（A-E）=0

从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）<=n

所以r（A）+r（A-E）=n

只要按照定义举例子就好了，例子如下：

定义：设A是n阶方阵，若A的转置=A，则称A为一个n阶对称矩阵；若A的转置=-A，则称A是一个n阶反对称矩阵。

由定义可以得到，对称矩阵以主对角线为对称轴，各元素对应相等；反对称矩阵的主对角线上元素为0，以主对角线为对称轴，各元素对应相反。

这里A一定是不可逆的。有一个定理：若A可逆，则R(AB)=R(B)。（A可逆，则A是初等阵的乘积，即B左乘一些初等阵得到AB，也就是B可经过行初等变换得到B，而初等变换不改变矩阵的秩）。