几阶行列式是什么意思

几阶行列式意思：阶数就是方阵的行数与列数，二阶就是说两行两列的方阵，三阶就是三行三列的方阵。

理解行列式的阶首先要知道数域上的n阶矩阵，即n行n列矩阵，行列式实质上是数域上全体n阶矩阵到数域上满足一定条件的映射，矩阵的阶数就称为行列式的阶。

阶数只代表正方形矩阵的大小，并没有太多的意义。与其较为相关的矩阵的“秩”定义为一个矩阵中不等于0的子式的最大阶数。但需要注意的是这里的“子式”是指行列式。

性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，bn；另一个是с1，с2，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

此为矩阵的行列式的化简，我们知道，对行列式进行行和列的初等变换不会改变行列式的值，于是我们变换如下：

1、将行列式第一行乘以-1分别加到第二行和第三行：

2、将行列式第三列加到第一列：

3、将行列式第二列加到第一列：

4、将行列式第二行乘以倒数后加到第一行：

5、将行列式第三行乘以倒数后加到第一行：

此行列式为行列式的最终结果，其数值即为所求。

行列式的几个重要公式分别为：上（下）三角行列式、关于副对角线行列式、两个特殊的拉普拉斯展开式、范德蒙行列式。

几个重要的行列式：

1、上（下）三角行列式

2、关于副对角线行列式

3、两个特殊的拉普拉斯展开式

4、范德蒙行列式

行列式的概念：

排列：由n个数1，2，……，n组成的一个有序数组称为一个n级排列，n级排列共有n!个。

逆序：在一个排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面，就称这两个数构成了一个逆序。

逆序数：在一个排列i1，i2，……，in中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为

行列式的定义：

三阶行列式：

行列式等于，平行的主对角线元素相乘之和，减去平行的副对角线相乘之和。

每个元素都只会出现一次。

每一项都是平行线上的元素之积：与正对角线平行取正号，与负对角线平等的取负号。

n阶行列式：

行列式的性质：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A。

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

公式一样，上三角和下三角行列式都等于它们主对角线上元素的乘积。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式性质

1、行列式D与它的转置行列式相等。

2、互换行列式的两行(列)，行列式的值改变符号。

3、n阶行列式等于任意一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

4、n阶行列式中任意一行(列)的所有元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

5、行列式某一行(列)的公因子可以提出来。即用一个数乘行列式就等于用这个数乘行列式的某一行或某一列。

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第一章行列式定理、性质总结 原创

2018-12-13 18:08:47

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1、任一排列经过一次对换后奇偶性改变。

2、若n阶行列式中有n^{2}-n个以上的元素为零，则该行列式的值为零。

3、行列式与它的转置行列式相等，即D^{T}=D。

4、行列式的行与列具有同等的地位，对行成立的性质对列也同样成立，反之亦然。

5、互换行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号。

6、如果行列式有两行（列）元素对应相同，则此行列式为0。

7、把行列式D的某一行（列）元素都乘以数k，其结果等于用数k乘以此行列式D。

8、行列式中如有两行（列）元素对应成比列，则此行列式等于0。

9、\begin{matrix} a_{11} a_{12} & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{matrix}，例如，第i行的元素是两数之和，D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{i1} +{a_{i1}}'& a_{i2}+{a_{i2}}' & \cdots & a_{in}+{a_{in}}'\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}，则D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ {a_{i1}}'& {a_{i2}}' & \cdots & {a_{in}}'\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}。

10、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一常数k，然后加到另一行（列）对应元素上去，行列式值不变。

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。

例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 ，它的展开式为ad-bc。

九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为 ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。

在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。

定义1 n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里 是1,2，，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当 是偶排列时带有正号，当 是奇排列时带有负号。这一定义可写成

这里 表示对所有n级排列求和， 表示排列 的逆序数。

由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

n阶行列式

设

是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,,n)确定的一个数，其值为n！项之和

式中k1,k2,,kn是将序列1,2,,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,,kn取遍1,2,,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式例如，四阶行列式是4！个形为

的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为

(－1)3

　　若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作

　　D=|A|=detA=det(aij)

　　若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵

　　标号集：序列1,2,,n中任取k个元素i1,i2,,ik满足

　　1≤i1<i2<<ik≤n(1)

　　i1,i2,,ik构成{1,2,,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集（参见第二十一章，1，二），C(n,k)的元素记作σ,τ,,σ∈C(n,k)表示

　　σ={i1,i2,,ik}

　　是{1,2,,n}的满足(1)的一个子列若令τ={j1,j2,,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,,ik=jk。

1、箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零

2、两三角型行列式

这类行列式的特征是对角线上方的元素都是,对角线下方的元素都是的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b=c时可以化为上面列举的爪形来计算，当b不等于c时则用拆行(列)法来计算

3、两条线型行列式

这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为的，自然也直接展开降阶计算

4、Hessenberg型行列式

这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第或第行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算

5、三对角型行列式

6、各行(列)元素和相等的行列式

这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素

7、相邻两行(列)对应元素相差1的行列式

这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第n行(列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行(列)元素相差倍数k，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的-k倍，可使行列式出现大量的零元素

8、范德蒙德型行列式

这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算

等于0，将第2，3，, n列均加到第1列，则第一列元素全部变为0，故行列式为0。

此n阶行列式记为Dn

当α=0时Dn=β^n

当α≠0时设x=β/α

则有：Dn=Bnα^n

当α=0时Dn=β^n

当α≠0，α=β时Dn=(n+1)β^n

当α≠0，α≠β时Dn=(α^(n+1)-β^(n+1))/(α-β)

性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

n阶矩阵等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。

例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 ，它的展开式为ad-bc。

九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为 ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。

扩展资料

性质——

1、行列互换，行列式不变。

2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

3、如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

4、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

5、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。