一道关于数列的数学题

解

因为a2、a1、a3为等差数列

所以有2a1=a2+a3，a1=-8

2a1=a1q+a1q^2

2=q+q^2

（q-1）（q+2）=0

解得q=-2或q=1（舍）

所以有a1=-8，q=-2

即an=（-8）（-2）^（n-1）=（-2）^（n+2）

---------------------

由an=（-2）^（n+2）可知

b4=a2=16

b2、b4、b5为等比数列，即

（b4）^2=b2b5

（b4）^2=（b4-2d）（b4+d）

8d+d^2=0

解得d=-8或d=0（舍）

b4=b1+3d，解得b1=40

所以有bn=40+（n-1）（-8），即

bn=-8n+48

b12=-812+48=-48

S12=（40-48）12/2=-48，即为所求

对于高考的数学，数列知识点是高考数学的基础知识，高考的数学中欧也经常会出现数列的大题，下面我为大家整理了一些高考数列的经典题型。

高考数学数列经典大题

(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7a14的最大值是()

A25B50C100D不存在

(2)在等差数列{an}中，a1=-2013，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则S2013的值为()

A-2011B-2012C-2010D-2013

破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20，S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14，然后利用基本不等式

(2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列

答案(1)A(2)D

解析(1)∵S20=a1+a202×20=100，∴a1+a20=10

∵a1+a20=a7+a14，∴a7+a14=10

∵an>0，∴a7a14≤a7+a1422=25

当且仅当a7=a14时取等号

故a7a14的最大值为25

根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2013，公差d=1，故S20132013=-2013+(2013-1)×1=-1，所以S2013=-2013

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数学数列知识点掌握技巧

数列。以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;

(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

数列的奥数题1

　下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：

　关于数列的奥数题：(1，3，5)，(2，6，10)，(3，9，15)…问：第100个数组内3个数的和是多少

　解：

　方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第100个数组中的第1个数为100;这些数组的第2个分量3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300;同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。

　方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。

　第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18

　第3组：3+9+15=27…，由于9=9×1，18=9×2，27=9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。

数列的奥数题2

　1某果园向市场运一批水果，原计划每车装16吨，实际每车装2吨，结果少了4吨，一共有多少辆车

　2某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人

　3学校买来科技书的册数是文艺书册数的14倍，如果再买12册文艺书，两种书的册数相等。学校买来两种书各有多少册

　4学校买6张办公桌和15把椅子共用去660元。已知每张办公桌与3把椅子的价钱相等，求多少元

　5东方小学五年级举行数学竞赛，共10 个赛题每做对一题得8分，错一题倒扣5分，张华全部解答，但只得41分，他做对多少题

　6松鼠妈妈采松子，晴天每天可采24个，雨天每天可采16个，他一连几天一共采了168个松子，平均每天采21个，这几天中一共有多少是天晴天

　7甲乙两个仓库共有大豆138吨，若从甲仓库运走30吨，从乙仓库运走35吨，这时乙仓库比甲仓库的一半还多4吨，求两个仓库原来各有大豆多少吨

　8甲、乙、丙、丁四人共做零件270个，如果甲多做10个，乙少做10个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，丙实际做了多少个

　9某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分得24吨，乙厂分得的是甲厂的一半，丙厂分得4吨。问最初仓库里有原料多少吨

　10某工车间共有77个工人，已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或者乙种部件4个，或丙种部件3个。但加工3个甲种部件，一个乙种部件和9个丙种部件才恰好配成一套。问应安排甲、乙、丙种部件工人各多少人时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套

　11用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆

　12哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在多少岁

数列的奥数题3

　我们把按规律排列起来的一列数叫数列。学习数列关键就是通过分析数与数之间的关系，找出它们的规律，然后可以自己推导出其他的数。

　如：常见的自然数列，奇数列，偶数列，等差数列，等比数列。

　自然数列的规律就是后一个数比前一个数大一，自然增长。

　奇数列的规律就是所有的数全部是奇数，而且后一个数比前一个数大2。

　等差数列就是后一个数与前一个数的差值是一个固定的数。

　等比数列就是后一个数与前一个数的商值是一个固定的数。

　1如5，10，15，20，，35，40，45

　2找规律：1，2，4，8，16，，128，256

　3找规律填空：1，2，4，7，11，，29，37

　4,一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上1为乘客，第二站上2为乘客，第三站上3为，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？（在坐满以前没有人下车）（数列求和？）

　5爸爸给小明100块糖，又给他10个盒子，要求小明往第一个盒子里放2块糖，第二个盒子里放4块糖，第三个盒子里放8块糖，第四个………照这样下去，要放满这10个盒子，你说这100块糖够不够？

　6有一本书共200页，页码依次为1，2，3，……，199，200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？（所有的情况都写出来，例如，分类讨论1在个位上的时候，1在十位上的时候，1在百位上的时候）

　7在1至100的奇数中，数字“3”出现了多少次？

数列的奥数题4

　请同学们细心观察以下数列，找出规律，然后再作答。

　把所有的奇数依次一项，二项，三项，四项循环分为：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，…，则第100个括号内的各数之和为多少

　考点：数列中的规律;整数的加法和减法

　分析：通过观察可以发现，括号内数字都是奇数，并且是连续的;同时还可以发现，括号内的奇数的个数分别是1、2、3、4、1、2、3、4…循环的，所以每4个括号可以分为一个大组，100个括号则可以分成25个大组然后推出第100个括号内的各数再相加计算出和即可

　解答：解：每4个括号为一个大组，前100个括号共25个大组，包含25×(1+2+3+4)=250个数，正好是从3开始的250个连续奇数，

　因此第100个括号内的最后一个数是2×250+1=501，故第100个括号内的各数之和为501+499+497+495=1992

　故答案为：1992

　点评：括号内数字都是连续奇数，括号内的奇数的个数又是循环的，利用数列中的规律来求出结果

数列的奥数题5

　0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___。

　上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，以此类推。那么这列数的`最后3项的和应是多少

　 答案： 156。

　 详解 ：将小明每次写出的两个数归为同一组，这样整个数列分成了6组，前四组分别为(0，1)、(2，3)、(6，7)、(14，15)。容易看出，每组中的两个数总是相差1，而1×2=2，3×2=6，7×2=14，即任何相邻两组之间，后面一组的第一个数总是前面一组第二个数的2倍。因此下面出现的一组数的第一个应该为15×2=30，第二个应为30+1=31;接着出现的一组数第一个应为31×2=62，第二个为62+1=63。因而最后三项分别为31、62、63，它们的和为31+62+63=156。

数列的奥数题6

　有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有()

　解答：根据乘法原理，分两步：

　第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。

　第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种

　综合两步，就有24×32=768种。

数列的奥数题7

　数列填空

　(1)47，43，39，35，()，()，()

　(2)1,4,16,64，()，()

　(3)60,50，()，()，20，()

　(4)4,8，10，10,16,12，()，()，()

　答案与解析：

　(1)等差数列，公差为4，填31,27,23

　(2)前一项乘以4得后一项，是等比数列，填256,1024

　(3)等差数列，公差为10，填40,30,10

　(4)双重数列，填22,14,28

数列的奥数题8

　 观察下列各数列，找出他们的排列规律，并说出他们各是什么数列。

　(1)1，2，3，4，5，6，

　(2)1，3，5，7，9，11

　(3)10，20，30，40，50，60，

　(4)4,10，16，22，28，34，

　 点拨：

　(1)这是从0开始的一列数，它逐渐增大，按照我们数数的顺序而排成的，这叫自然数列，从第二项起，每一项减去他前面的一项，差都是1，这也是等差数列。

　(2)这是从1开始的一列数，是由连续奇数排列而成的数列，这叫奇数列。从第二项起每一项减去它前面一项的差都是2，这也是等差数列。

　(3)观察这个数列，前一项加上10就等于他后面的一项，即从第二项起每一项减去他前面的一项，差都是10，差都相等，这就是等差数列。

　(4)在这个数列中，从第二项起，每一项减去他前面的一项的差都是6差都相等，是等差数列。

　 解：

　(1)既是自然数列，又是等差数列

　(2)既是奇数列，又是等差数列

　(3)等差数列

　(4)等差数列

数列的奥数题9

　 1解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来

　 “1”出现在个位上的数有：

　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，

　101，111，121，131，141，151，161，171，181，191

　共20个;

　 “1”出现在十位上的数有：

　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19

　110，111，112，113，114，115，116，117，118，119

　共20个;

　 “1”出现在百位上的数有：

　100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，

　110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，

　120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，

　130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，

　140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，

　150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，

　160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，

　170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，

　180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，

　190，191，192，193，194，195，196，197，198，199

　共100个;

　 数字“1”在1至200中出现的总次数是：

　20+20+100=140(次)

　 2解：采用枚举法，并分类计算：

　 “3”在个位上： 3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个;

　 “3”在十位上： 31，33，35，37，39共5个;

　 数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：

　10+5=15(次)

　 3解：枚举法： 12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个

　 4解：分段统计，再总计

　 页数铅字个数

　1～9共9页1×9=9(个)(每个页码用1个铅字)

　10～90共90页2×90=180(个)(每个页码用2个铅字)

　100～199共100页3×100=300(个)(每个页码用3个铅字)

　第200页共1页3×1=3(个)(这页用3个铅字)

　总数：9+180+300+3=492(个)

　 5解：列表枚举，分类统计：

　101个

　20212个

　3031323个

　404142434个

　50515253545个

　6061626364656个

　707172737475767个

　80818283848586878个

　9091929394959697989个

　总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个)

　 6解：枚举法，再总计：

　101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个

(1)

an=n^2-25n+2=(n-25/2)^2-617/4，要取最小项即括号的平方取最小值（因为n不能取到25/2，所以取n=12或者n=13），此时数列的最小项为a12=a13=154

(2)

同上，将数列表达式变换形式有：an=(n-a)^2-a^2+2，数列在n=a时取最小值，即当n>a时数列递增。但考虑到a可能是整数也可能是小数，所以a

的取值范围是：a<=6

个人意见，希望是正确的哈。

已知等比数列{a‹n›}的首项a₁=1/3，公比q>0，且q≠1，又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列，

(1)。求数列{a‹n›}的通项；(2)。令b‹n›=log₃a‹n›，求1/b₁b₂+1/b₂b₃++1/b‹n›b‹n+1›的值。

解：(1)。因为a₁，5a₃，9a₅成等差数列，即a₁，5a₁q²，9a₁q⁴成等差数列，故得等式：

a₁+9a₁q⁴=10a₁q²，即有9q⁴-10q²+1=(9q²-1)(q²-1)=0，故得9q²-1=0，即q=1/3

于是得通项a‹n›=(1/3)(1/3)ⁿ⁻¹=(1/3)ⁿ

(2)。b‹n›=log₃a‹n›=log₃(1/3)ⁿ=log₃3⁻ⁿ=-n

故1/b₁b₂+1/b₂b₃++1/b‹n›b‹n+1›=1/(1×2)+1/(2×3)++1/[n×(n+1)

=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)++[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)=n/(n+1)

第1问：

因为a1、a2、a4成等比数列

所以a1a4=(a2)²

即a1(a1+3d)=(a1+d)²

化简得a1d=d²

因为d≠0

所以a1=d

S4=[2a1+(4-1)d]4/2=5d2=20

a1=d=2

an=a1+(n-1)d=2n

第2问：

bn=n2^an=n2^(2n)=n4^n

Sn=14^1+24^2+34^3+……+n4^n

4Sn=14^2+24^3+34^4+……+n4^(n+1)

3Sn=4Sn-Sn

=-14^1+(1-2)4^2+(2-3)4^3+……+[(n-1)-n]4^n+n4^(n+1)

=-4^1-4^2-4^3-……-4^n+n4^(n+1)

=-4(1-4^n)/(1-4)+n4^(n+1)

=-4^(n+1)/3+4/3+n4^(n+1)

=(3n-1)4^(n+1)/3+4/3

所以Sn=(3n-1)4^(n+1)/9+4/9

第3问：

Y>9Sn-3n4^(n+1)=(3n-1)4^(n+1)+4-3n4^(n+1)=-4^(n+1)+4

因为n≥1

则Y>-4^(1+1)+4=-12

所以Y最小整数值为-11