正弦函数余弦函数的性质

正弦函数y=sinx；余弦函数y=cosx

1、单调区间

正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减

余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减

2、奇偶性

正弦函数是奇函数

余弦函数是偶函数

3、对称性

正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称

余弦函数关于x=2kπ对称，关于(π/2+kπ,0)中心对称

4、周期性

正弦余弦函数的周期都是2π

扩展资料：

同角三角函数的基本关系式

倒数关系：tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1；

商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα；

和的关系：sin²α+cos²α=1、1+tan²α=sec²α、1+cot²α=csc²α；

平方关系：sin²α+cos²α=1。

常用的和角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+ sinβcosα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinBcosα

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ) / (1+tanαtanβ)

二倍角公式

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 

三角函数

[三角函数]

三角函数

目录

同角三角函数间的基本关系式：

三角函数的诱导公式

正余弦定理

部分高等内容

特殊三角函数值

三角函数的计算

三角函数定义域和值域

初等三角函数导数

反三角函数

反三角函数

　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

　　基本初等内容

　　它有六种基本函数(初等基本表示)：

　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数 sinθ=y/r

　　余弦函数 cosθ=x/r

　　正切函数 tanθ=y/x

　　余切函数 cotθ=x/y

　　正割函数 secθ=r/x

　　余割函数 cscθ=r/y

　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

　　正矢函数 versinθ =1-cosθ

　　余矢函数 coversθ =1-sinθ

　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边

　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边

　　正切（tan）:角α的对边比上邻边

　　余切（cot）:角α的邻边比上对边

　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边

　　余割（csc）:角α的斜边比上对边

[编辑本段]

同角三角函数间的基本关系式：

　　·平方关系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2

　　tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·积的关系：

　　sinα=tanαcosα

　　cosα=cotαsinα

　　tanα=sinαsecα

　　cotα=cosαcscα

　　secα=tanαcscα

　　cscα=secαcotα

　　·倒数关系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

　　·三角函数恒等变形公式

　　·两角和与差的三角函数：

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·三角和的三角函数：

　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

　　·辅助角公式：

　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

　　·倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos^(α)-sin^(α)=2cos^(α)-1=1-2sin^(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　·三倍角公式：

　　sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

　　cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

　　·半角公式：

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　·降幂公式

　　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

　　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

　　·万能公式：

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·推导公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos^2α

　　1-cos2α=2sin^2α

　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

　　·其他：

　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0 以及

　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

　　cosx+cos2x++cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

　　证明：

　　左边=2sinx(cosx+cos2x++cosnx)/2sinx

　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x++ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）

　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

　　等式得证

　　sinx+sin2x++sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

　　证明:

　　左边=-2sinx[sinx+sin2x++sinnx]/(-2sinx)

　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx++cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

　　等式得证

[编辑本段]

三角函数的诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（2kπ＋α）＝tanα

　　cot（2kπ＋α）＝cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

[编辑本段]

正余弦定理

　　正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．

　　余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA

[编辑本段]

部分高等内容

　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

　　·三角函数作为微分方程的解：

　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

[编辑本段]

特殊三角函数值

　　a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°

　　sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 0

　　cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1

　　tana 0 √3/3 1 √3 无 -√3 0

　　cota 无 √3 1 √3/3 0 -√3/3 无

[编辑本段]

三角函数的计算

　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2++cnxn+=∑cnxn (n=0∞)

　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2++cn(x-a)n+=∑cn(x-a)n (n=0∞)

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,cn及a都是常数, 这种级数称为幂级数

　　泰勒展开式(幂级数展开法):

　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!(x-a)+f''(a)/2!(x-a)2+f(n)(a)/n!(x-a)n+

　　实用幂级数：

　　ex = 1+x+x2/2!+x3/3!++xn/n!+

　　ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-(-1)k-1xk/k+ (|x|<1)

　　sin x = x-x3/3!+x5/5!-(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

　　cos x = 1-x2/2!+x4/4!-(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

　　arcsin x = x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + (|x|<1)

　　arccos x = π - ( x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + ) (|x|<1)

　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - (x≤1)

　　sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

　　cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

　　arcsinh x = x - 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 - (|x|<1)

　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + (|x|<1)

　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

　　--------------------------------------------------------------------------------

　　傅立叶级数(三角级数)

　　f(x)=a0/2+∑(n=0∞) (ancosnx+bnsinnx)

　　a0=1/π∫(π-π) (f(x))dx

　　an=1/π∫(π-π) (f(x)cosnx)dx

　　bn=1/π∫(π-π) (f(x)sinnx)dx

　　三角函数的数值符号

　　正弦　第一，二象限为正，　第三，四象限为负

　　余弦　第一，四象限为正　第二，三象限为负

　　正切　第一，三象限为正　第二，四象限为负

[编辑本段]

三角函数定义域和值域

　　sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

　　tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

　　cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

[编辑本段]

初等三角函数导数

　　y=sinx---y'=cosx

　　y=cosx---y'=-sinx

　　y=tanx---y'=1/(cosx)^2

　　y=cotx---y'=-1/(sinx)^2

　　y=arcsinx---y'=1/√1-x^2

　　y=arccosx---y'=-1/√1-x^2

　　y=arctanx---y'=1/(1+x^2)

　　y=arccotx---y'=-1/(1+x^2)

[编辑本段]

反三角函数

　　

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x)

　　反三角函数主要是三个：

　　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

　　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

　　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 -π/2,π/2

　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得

　　其他几个用类似方法可得

1诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(2π-a)=cos(a)

cos(2π-a)=sin(a)

sin(2π+a)=cos(a)

cos(2π+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinAcosA

2两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)

3和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)

sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)

cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)

4积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)

sin(a)sin(b)=-12⋅[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=12⋅[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=12⋅[sin(a+b)+sin(a-b)]

5二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

6半角公式

sin2(a2)=1-cos(a)2

cos2(a2)=1+cos(a)2

tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

7万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)

cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)

tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

8其它公式(推导出来的 )

a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba

a⋅sin(a)-b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab

1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2

1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

csc(a)=1sin(a)

sec(a)=1cos(a)

a/sinA=b/sinB=c/sinC 这个是正弦定理

余弦定理为:三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和,减去两边与他们夹角的余弦的积的2倍

公式为:a2=b2+c2-2bccosA

直角三角形中,角C是直角

则tanA=角A的正切=角A的对边/角A的邻边=BC/AC=a/b

cotA=角A的余切=角A的邻边/角A的对边=AC/BC=b/a

sinA=角A的正弦=角A的对边/斜边=BC/AB=a/c

cosA=角A的余弦=角A的邻边/斜边=AC/AB=b/c

tan30=cot60=根号3/3

cot30=tan60=根号3

cos30=sin60=根号3/2

sin30=cos60=1/2

arctanx 是反正切函数。比如tan45=1,那么arctan1=45

正弦sin=对边比斜边。

余弦cos=邻边比斜边。

正切tan=对边比邻边。

1、正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

2、余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。

3、在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

同角三角函数的基本关系

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如图所示），∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。