微积分到底有什么用

1、对于物理意义

求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间

2、对于科学天文的作用

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律

3、对数学的作用

求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。

实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早在古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间

4、对军事的作用

例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出最大射程的发射角。

扩展资料:

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 

参考资料：

-微积分

先把物体的轨迹求出来，比如一个空间坐标系，求出坐标随时间的变化公式。

1x=f(t),y=g(t),z=h(t)速度就是坐标对时间的导数，vx=dx/dt，vy=dy/dt，vz=dz/dt，加速度是坐标对时间的二阶导数,或者是速度对时间的导数。

2ax=d^2x/dt^2ay=d^2y/dt^2az=d^2z/dt^2或者ax=dvx/dtay=dvy/dtaz=dvz/dt。

3加速度就是速度的微分，可以理解成微分即导数，而导数则为函数某点切线的斜率，可以先求出速度关于时间的函数，再对函数求导即得到加速度关于时间的函数。

4d是微分符号，和三角差不多意思，d^2x/dt^2，是x对t求两次导的意思，d^2指的是求两次导，dt^2实际上是(dt)^2。

大学高数，是我们众所周知的是学科，也是大学里占据重要地位的基本学科，可以通俗的说学好大学高数，感觉大学都变轻松了许多。当然了，正向的说明了大学高数的难度，其中难度系数高的就有微积分吧，那么我们学微积分的作用到底是什么？

首先得说的就是，微积分是大部分学科进一步深入的数学基础而已。因为如果想继续在数学方面发展，或者说想学习继续学习数学的话，那么微积分就是你必须要了解学习的。所以，这就是学习微积分的作用之一，也是为你今后的学习做好铺垫吧。

然后就是，学好微积分，你可能就会感觉你打开了新世界的大门，而这扇门就是通向物理和数学的，你就会感觉以前我们所学的那些物理不会做的题，不懂的地方，都可以得到很好的解释。还有就是数学，显而易见的就是那些数学难题会做了。至少对于物理和数学的认识已经截然不同了。

就说我吧，我学完微积分之后，就发现：我靠，我需要学习的数学知识太多了！原来我连泛函分析都不会，还想研究科学……于是默默买了一些基础的有关于高数微积分的书籍慢慢学习，也不敢再对人说，我学过数学了……

还有就是可以让你充满自信的去吹牛逼，当然了，为了达到更好的效果，得配套着学线性代数，概率论，数理统计，泛函分析……都学完之后，你就可以在女同学面前吹起牛逼腰杆也倍儿直挺，还可以给亲戚家孩子辅导奥数也倍有自信。

这就是学习微积分的作用，远的不说，对你以后的学习的帮助那是显而易见的，然后让你的认知得到了充分扩充，让你生活学习更有意义。

1可以

2只有在q是连续的时候才能写成积分形式,∫kdq=k∫1dq=kq

微分就是求导,是积分的逆运算

你的追问:

1不是恒成立,如果q是离散的,那么只能用和的形式来表示其实以后见到和式一般都表示求和的那个函数定义域是离散的积分形式只能在被积函数是连续时才有意义

2不懂你写的问题具体什么意思是Edt=k(R(t))dt的意思吗k是关于R的函数,而R是关于t的函数要求E吗t在这里是微元吗还是R是

我觉得既然说R连续变化,很有可能指的是R'(t)有意义,严格的说应该是R是连续变化的光滑曲线唉没法说,题目漏洞太大了而且即使这么理解,抽象函数表达也太麻烦了你想问什么,给个具体的例子吧

问题一：牛顿是一个怎样的人 被誉为近代科学的开创者牛顿，在科学上作出了巨大贡献。他的三大成就――光的分析、万有引力定律和微积分学，对现代科学的发展奠定了基础。

牛顿为什么能在科学上获得巨大成就？他怎样由一个平常的人成为一个伟大的科学家？要回答这些问题，我们不禁要联想到 他刻苦学习和勤奋工作的几个故事。

“我一定要超过他！”

一谈到牛顿，人们可能认为他小时候一定是个“神童”、“天才”、有着非凡的智力。其实不然，牛顿童年身体瘦弱，头脑并不聪明。在家乡读书的时候，很不用功，在班里的学习成绩属于次等。但他的兴趣却是广泛的，游戏的本领也比一般儿童高。

问题二：牛顿的人品如何 牛顿―伟大的学家，低劣的人品

众所周知，牛顿是伟大的物理学家，他发现了物理学著名的三定律：惯性定律、质量加速度定律、作用力和反作用力定律。直到今天，在任何一套中学物理教科书中，都能找得到牛顿物理三定律。宇宙万有引力定律也是他发现的。高中数学中的二项式定理也冠以牛顿的名字。高等数学中有个最著名的公式，叫做牛顿莱布尼兹公式。牛顿的名头不可谓不响啊。说牛顿是近代伟大的物理学家，恐怕没有人会有疑义吧

但是这个伟大的物理学家，却有着低劣的人品。从已经披露的有限的材料来看，这个伟大的物理学家为了争夺微积分学基本公式的发明权，对另外一位学者莱布尼兹使用了下三烂的卑劣手段。让我们先看一看有关的史实吧：

莱布尼兹生于1646年，卒于1716年。他出生于德国莱比锡一个书香门第的家庭，是德国一位博学多才的学者。莱布尼兹独立创建了微积分，现在使用的微积分符号，很多都是他发明的。莱布尼兹最早在1673-1676年就发表了有关微积分思想的论著，而他关于微积分的最初成型，则体现在他于1684年10月发表在《教师学报》上的一篇论文：一种求极大极小的奇妙类型的计算。这篇文章被公认为是最早发表的微积分学文献。

而牛顿在三年后出版的《自然哲学的数学原理》中披露了他关于微积分的基本思想――流数术，比莱布尼兹迟发表了整整三年！不知是为了向世人表白他早就发明了微积分呢，还是什么其它的原因，他在这本书（第一版和第二版）中写到：十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。

就算牛顿讲的都是实话吧，他先于莱布尼兹十年就开始研究微积分，但他的思想并没有成型，他的学术成果也没有公开发表。从专利权的角度看问题，无疑莱布尼兹才真正具有微积分的发明权。

可是，后来的事态却急转直下。微积分的发明震动了科学界，她极大地推动了数学本身以及科学技术的发展，也改变了牛顿的心态。为了争夺微积分的发明权，牛顿对莱布尼兹组织了一场大规模的揭露与批判运动，指责莱布尼兹剽窃了他的科研成果。牛顿在随后再版的《自然哲学的数学原理》（第三版及其以后各版）中删除了他在一、二两版中所承认的莱布尼兹也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外这样的话。

牛顿时任英国皇家科学会的主席，是剑桥大学首席数学教授，在科学界具有崇高的威望，很多人宁愿相信这位伟人，也不愿客观的分析一下事情的来龙去脉，盲目地加入到对莱布尼兹的讨伐中。莱布尼兹的晚年非常凄惨，生命中的最后7年，一直痛苦地生活在别人强加给他的发明权的争论中。终生未娶的他，在世人的指责声中于1716年11月14日孤独地离开人世。

牛顿的卑劣之处在于，对莱布尼兹的讨伐是他一手自导自演的。历史学家经过几十年的调查，发现当年很多攻击莱布尼兹的文章，都是牛顿化了别名亲自写的，有些文章则是他授意别人写的。历史学家经过调查还确认，莱布尼兹是独立发明微积分并率先发表的，终于还了莱布尼兹一个清白。真是：千秋万岁名，寂寞身后事。

令人不能>>

问题三：谁是牛顿？牛顿是怎么一个人？ 牛顿，伟大的英国物理学家，1642年12月25日生于林肯郡伍尔索普村的一个农民家庭．12岁他在格兰撒姆的公立学校读书时，就表现了对实验和机械发明的兴趣，自己动手制作了水钟、风磨和日晷等．1661年，牛顿就读于剑桥大学的三一学院，成了一名优秀学生．1669年，年仅27岁，就担任了剑桥的数学教授．1672年当选为英国皇家学会会员．

1685～1687年，在天文学家哈雷的鼓励和赞助下，牛顿发表了著名的《自然哲学的数学原理》，完成了具有历史意义的发现――运动定律和万有引力定律，对近代自然科学的发展，作出了重大贡献．1703年，当选为英国皇家学会会长．1727年3月27日，逝世于伦敦郊外的一个小村落里．

牛顿不仅对于力学，在其他方面也有很大贡献．在数学方面，他发现了二项式定理，创立了微积分学；在光学方面，进行了太阳光的色散实验，证明了白光是由单色光复合而成的，研究了颜色的理论，还发明了反射望远镜．

问题四：你觉得牛顿是一个怎样的人我们应该向他学习什么 喜欢观察和思考，苹果砸脑袋上就想到了万有引力

问题五：牛顿是哪个国家的什么人 艾萨克 牛顿 爵士，1642年出生在英国，是世界近代科学学技术史上伟大的物理学家、天文学家和数学家。他由于发现了万有引力定律创立了天文学，由于提出了二项式定理和无限理论创立了数学，由于认识了力的本性创立了力学。他是人类认识自然界漫长历程中的一个重要人物，他的科学贡献已成为人类认识自然的里程碑。它创立了科学的光学，在光学研究中夺得了丰硕成果，单凭他在光学研究中做出的贡献，就可以称得上近代科技史上的伟大人物。牛顿对光进行研究，是从去掉望远镜中的色彩和歪曲形象入手的。

问题六：牛顿是个什么人 被誉为近代科学的开创者牛顿，在科学上作出了巨大贡献。他的三大成就――光的分析、万有引力定律和微积分学，对现代 科学的发展奠定了基础。 牛顿为什么能在科学上获得巨大成就？他怎样由一个平常的人成为一个伟大的科学家？要回答这些问题，我们不禁要联想到 他刻苦学习和勤奋工作的几个故事。 “我一定要超过他！” 一谈到牛顿，人们可能认为他小时候一定是个“神童”、“天才”、有着非凡的智力。其实不然，牛顿童年身体瘦弱，头脑 并不聪明。在家乡读书的时候，很不用功，在班里的学习成绩属于次等。但他的兴趣却是广泛的，游戏的本领也比一般儿童高。 平时他爱好制作机械模型一类的玩艺儿，如风车、水车、日晷等等。他精心制作的一只水钟，计时较准确，得到了人们的赞许。 有时，他玩的方法也很奇特。一天，他作了一盏灯笼挂在风筝尾巴上。当夜幕降临时，点燃的灯笼借风筝上升的力升入空中 。发光的灯笼在空中流动，人们大惊，以为是出现了彗星。尽管如此，因为他学习成绩不好，还是经常受到歧视。 当时，封建社会的英国等级制度很严重，中小学里学习好的学生，可以歧视学习差的同学。有一次课间游戏，大家正玩得兴 高采烈的时候，一个学习好的学生借故踢了牛顿一脚，并骂他笨蛋。牛顿的心灵受到这种 ，愤怒极了。他想，我俩都是学生 ，我为什么受他的欺侮？我一定要超过他！从此，牛顿下定决心，发奋读书。他早起晚睡，抓紧分秒、勤学勤思。 经过刻苦钻研，牛顿的学习成绩不断提高，不久就超过了曾欺侮过他的那个同学，名列班级前茅。 篱笆下的乐趣 世界上有许多著名的科学家的家境是清贫的。他们在通往成功的道路上，都曾与困苦的境遇作过顽强的斗争。牛顿少年时代 的境遇也是十分令人同情的。 牛顿一 二年出生在英国一个普通农民的家里。在牛顿出生前不久，他的父亲就去世了。母亲在他两岁那年改嫁了。当牛 顿十四岁的时候，他的继父不幸故去了，母亲回到家乡，牛顿被迫休学回家，帮助母亲种田过日子。母亲想培养他独立谋生，要 他经营农产品的买卖。 一个勤奋好学的孩子多么不愿意离开心爱的学校啊！他伤心地哭闹了几次，母亲始终没有回心转意，最后只得违心地按母亲 的意愿去学习经商。每天一早，他跟一个老仆人到十几里外的大镇子去做买卖。牛顿非常不喜欢经商，把一切事务都交托老仆人 经办，自己却偷偷跑到一个地方去读书。 时光渐渐流逝，牛顿越发对经商感到厌恶，心里所喜欢的只是读书。后来，牛顿索性不去镇里营商了，仅嘱老仆人独去。怕 家里人发觉，他每天与老仆人一同出去，到半路停下，在一个篱笆下读书。每当下午老仆人归来时，再一同回家。 这样，日复一日，篱笆下的读书生活倒也其乐无穷。一天，他正在篱笆下兴致勃勃地读书，赶巧被过路的舅舅看见。舅舅一 看这个情景，很是生气，大声责骂他不务正业；把牛顿的书抢了过来。舅舅一看他所读的是数学书，上面画着种种记号，心里受 到感动。舅舅一把抱住牛顿，激动地说：“孩子，就按你的志向发展吧，你的正道应该是读书。” 回到家里后，舅舅竭力劝说牛顿的母亲，让牛顿弃商就学。在舅舅的帮助下，牛顿如愿以偿地复学了。 在暴风中研究和计算风力 时间对人是一视同仁的，给人以同等的量，但人对时间的利用不同，而所得的知识也大不一样。 牛顿十六岁时数学知识还很肤浅，对高深的数学知识甚至可以说是不懂。“知识在于积累，聪明来自学习”。牛顿下决心靠 自己的努力攀上数学的高峰。在基础差的不利条件下，牛顿能正确认识自己，知难而进。他从基础知识、基本公式重新学起，扎 扎实实、步步推进。他研究完了欧几里德几>>

微积分考试不及格就要补考。花钱好郁闷啊 ，影响心情

检举 通常意义下的日常生活中是用不到微积分。

主要是科学技术中才能用到微积分。例如如果移动的路程是时间t的函数，那么移动的速度就是路程的关于t的微分（导数）。反过来已知所得税时间t的函数，那么路程就是速度的积分。

再如求曲线围成的图形（例如椭圆）的面积，曲线的弧长的计算都要用积分。

在现代科学技术的发展和应用都离不开微积分，可以说现代科技（包括航天技术）离开微积分就寸步难行

1 随机微积分（Stochastic Calculus）是干什么的？\x0d\\x0d\一言以蔽之，给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变\x0d\量做微积分那样对随机变量做微积分。\x0d\\x0d\知道了这一点，我们很多时候都可以把普通微积分的思维方式对应到随机微积分上。比\x0d\如，有些概念，一开始如果我们不理解这个概念起的作用是什么，就可以想想在普通微\x0d\积分里面跟这个概念相对应的概念的作用。\x0d\\x0d\2 随即微积分的理论框架是怎么样建立起来的？\x0d\\x0d\一言以蔽之，依样画葫芦。这里的“样”，说的是普通微积分。\x0d\\x0d\在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”（convergence）和“极限”（limit\x0d\）的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机微积分，在我们建立\x0d\了现代的概率论体系（基于实分析和测度论）之后，同样的我们就像当初发展普通微积\x0d\分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打\x0d\交道的是随机变量，比以前的普通的变量要复杂得多，相应的建立起来的“收敛”和“\x0d\极限”的概念也要复杂得多。事实上，随机微积分的“收敛”不止一种，相应的“极限\x0d\”也就不止一种。用的比较多的收敛概念是　convergence with probability 1 (almost \x0d\surely) 和　mean-square convergence。\x0d\\x0d\另一个需要新建立的东西是积分变量。在普通微积分里面，积分变量就是一般的实变量\x0d\，也就是被积函数（integrand）的因变量，基本上不需要我们做什么文章。而随即微\x0d\积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动是需要一点功夫的。\x0d\这个过程是构建随机微积分的的过程中的基本的一环。\x0d\\x0d\“收敛”，“极限”和“积分变量”都定义好了之后，我们就可以依样画葫芦，像普通\x0d\微积分里面的定义那样去定义接下来的一系列概念。\x0d\\x0d\3 既然是依样画葫芦，那么跟普通微积分的区别是什么？\x0d\\x0d\最基本的区别在于现在的积分变量是布朗运动，它是时间的一个函数，但是却有一个特\x0d\殊的性质：布朗运动处处连续但是处处不可导。正是这个特殊的性质使得随即微积分跟\x0d\普通微积分不同。\x0d\\x0d\在普通微积分里面，我们其实已经接触了用“基本变量的函数”来作为积分变量的情况\x0d\，比如g(x)是x的函数，我可以用g作为积分变量进行积分：\x0d\\x0d\\int_{g=g(a)}^{g=g(b)} f(g) dg\x0d\\x0d\如果g(x)是一个可导的函数,这就是我们在普通微积分中已经解决了的问题，因为dg = \x0d\g'dx，所以上式可以写成：\x0d\\x0d\\int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx\x0d\\x0d\但是对于布朗运动W来说，dW/dt不存在。正因为这个“微分”不存在，导致在普通微积\x0d\分里面可以直接进行的上述微分运算在随即微积分里面不能直接进行。\x0d\\x0d\比如，在普通微积分里面，有基本的微积分公式\x0d\(ln x)' = 1/x\x0d\\x0d\因而\x0d\dx/x = d(ln x)\x0d\\x0d\但在随机微积分里面则不能对dW/W 进行这样的计算 \x0d\\x0d\dX/X =/= d(ln X)，\x0d\\x0d\因为 ln(X)是不可导的。\x0d\\x0d\这就需要我们建立新的基本运算规则。\x0d\\x0d\4 随即微积分的基本运算规则是什么？\x0d\\x0d\在普通微积分里面，首先我们定义了牛顿-莱布尼兹公式\x0d\f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx\x0d\\x0d\然后我们定义了一系列基本的运算法则，比如\x0d\d(x+y) = dx + dy;\x0d\d(xy) = xdy + ydx\x0d\\x0d\和基本微积分公式，比如　\x0d\(x^2)' = 2x； \x0d\\int exp(x)dx = exp(x)。\x0d\\x0d\然后我们实际进行微积分运算的时候，主要是把要计算的微分或者积分按照运算法则分\x0d\解成这些基本的微积分公式，然后把他们用这些基本的微积分公式套进去进行计算。\x0d\\x0d\在随机微积分里面，我们做相同的事情。\x0d\\x0d\导致随即微积分和普通微积分在操作上的区别的就是最基本跟牛顿-莱布尼兹公式相对\x0d\应的新的微积分公式。\x0d\\x0d\普通微积分的牛顿-莱布尼兹公式是由分区间近似求和，然后取极限得到。在随即微积\x0d\分里面，我们可以用相同的方法来定义积分，但是这个近似的取法不同，会导致计算的\x0d\结果不同。\x0d\目前最有实用意义的近似取法是有日本数学家Ito提出的，那就是，在计算某个小区间\x0d\的对整个积分的贡献的时候，用这个区别的左边界的函数值来代替整个区间的函数值。\x0d\（Note：在定义普通微积分的时候，我们用的是该区间上任意一点。之所以可以使用该\x0d\区间上任何一点是因为函数的可导性。而这里，函数不可导，所以不能像普通微积分那\x0d\样用任意一点的函数值来代替）\x0d\用这种近似方法，我们可以得到如下基本公式（跟普通微积分里面的牛顿-莱布尼兹公\x0d\式相对应），Ito公式：\x0d\\x0d\f(W(t)) - f(W(0)) = \int_0^t f'(W(u)) dW(u) + 1/2\int_0^t f''(W(u)) du\x0d\\x0d\等式右边的第二项是让随机微积分在实际操作上区别于普通微积分的所谓Ito项。\x0d\\x0d\有了Ito公式之后，就可以计算一些基本的常用的微积分公式，比如对于f(x)=ln(x), f\x0d\' = 1/x, f'' = -1/x^2s，所以\x0d\\x0d\ln(W(t)) - ln(W(0)) = \int_0^t (1/W(u)) dW(u) + 1/2 \int_0^t (-1/W(u)^2) du\x0d\\x0d\接下来的步骤，就跟普通微积分几乎一模一样，运用运算法则将复杂的微积分分解成基\x0d\本的微积分，然后套用基本公式。\x0d\\x0d\实际的随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量布朗运动W(t)。\x0d\注意碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，碰到跟W(t)有关的部分就用随机微积\x0d\分的法则。\x0d\\x0d\5 关于随机微分方程\x0d\\x0d\如果你学到随机微分方程了，那么你会遇上随机微积分里面最大的joke，那就是，虽然\x0d\人们经常把随机“微分”方程挂在嘴上，但实际上人们处理的统统都是随机积分方程。\x0d\\x0d\比如最著名的描述股票运动的方程（其解是Geometric Brownian Motion），我们通常\x0d\看到下面的形式：\x0d\\x0d\dS = \mu S dt + \sigma S dW\x0d\\x0d\这个貌似微分方程的东西，其实并不是微分方程，原因很简单，S是处处不可导的，所\x0d\以你不能把dt挪到左边的分母上得到一个类似于dS/dt的东西。所以这跟本就不是一个\x0d\微分方程，实际上，它是如下积分方程的一个简写而已：\x0d\\x0d\S(t) - S(0) = \int_0^t \mu S dt + \int_0^t \sigma S dW(u)\x0d\\x0d\我们通常谈论的随机“微分”方程的general的形式如下：\x0d\\x0d\dX(t) = \mu(t,X(t))dt + \sigma(t,X(t))dW(t)\x0d\\x0d\经过刚才的例子，你很容易明白这其实是一个积分方程。\x0d\\x0d\具体解随机“微分”方程的方法没有什么新的东西，做法都跟普通的常微分方程和偏微\x0d\分方程一样，只不过在所有涉及到以W为变量的微分和积分的时候，都要套用Ito积分的\x0d\公式。\x0d\\x0d\正如解析方法在常微分方程和偏微分方程里面能解决的问题很有限一样，解析方法在随\x0d\机“微分”方程里面能做的事情也很有限，实际工作中主要用的数值方法。直接解随机\x0d\微分方程的数值方法其实就是模拟。\x0d\模拟主要分强近似和弱近似，前者模拟大量的符合该微分方程的过程，然后根据模拟的\x0d\这些过程来计算统计值。后者也模拟大量的过程，但这些过程并不严格符合方程所描述\x0d\的过程的性质，而只是在某些方面（比如终点时刻的值的期望和方差）趋近于方程所描\x0d\述的过程。\x0d\\x0d\随机微分方程的数值解基本上就是常/偏微分方程的数值解的拓展，比如Euler's \x0d\method，操作起来跟常微分方程的Euler's method几乎一模一样。不同之处在于，用\x0d\Euler's method解常微分方程，这种逐步往后计算每个点的值的过程只需要进行一次。\x0d\而在解随机微分方程的时候，每一次只得到一个sample process，对于解一个方程，这\x0d\个过程需要重复很多次。\x0d\\x0d\6 随机微分方程跟偏微分方程的关系\x0d\\x0d\再次写出随机“微分”方程的general形式\x0d\\x0d\dX(t) = \mu(t,X(t))dt + \sigma(t,X(t))dW(t)\x0d\\x0d\假设我们关心的是X(T)的某个函数的期望值（在实际工作中，我们几乎总是只关心这个\x0d\，比如E[X(T)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X^2(T)的期望），假设这个函数是h，\x0d\现在要根据t时刻的信息来推断h(X(t))在T时刻的期望。\x0d\换句话说，我们要计算h(X(T))在时刻t的条件期望，我们把这个条件期望记做g(t,X(t))\x0d\\x0d\g(t, X(t)) = E[h(X(T))|F(t)]\x0d\\x0d\很显然这个g也是一个随机过程。进一步的，可以证明，这个在一定的条件下，g是一个\x0d\martingale。既然是martingale，那么如果计算g的微分，那么微分中的dt项应该为0，\x0d\这是建立随机微分方程和偏微分方程的最基本出发点。实际上，dg中的dt项为0可以导\x0d\致如下结论：\x0d\\x0d\g_t(t,x) + \mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 \sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = 0\x0d\\x0d\式中的下标表示偏微分。\x0d\\x0d\这样我们就由一个随机微分方程得到了一个偏微分方程。注意这个偏微分方程非常的有\x0d\用，因为在实际工作中，我们大多数情况下并不关注X(t)作为一个随机过程的种种细节\x0d\，而更多的只关注他的某些函数的期望和条件期望，比如E[h(X(T))|F(t)]。而上面的\x0d\这个微分方程，解决的正是这种问题。所以很多时候，面对着一个随机微分方程的问题\x0d\，我们并不需要真正的去解随机微分方程，而只需要解对应的偏微分方程就可以了。\x0d\\x0d\上面阐述的这层关系叫做Feynman-Kac定理。\x0d\\x0d\顺便说一句，在金融中大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton微分方程，其实就是Feynman-\x0d\Kac定理的一个小小应用而已。\x0d\\x0d\如果我们计算不是h(X(T))的条件期望，而是exp(-r(T-t))h(X(T))的条件期望，基于同\x0d\样的推导，我们可以到类似的偏微分方程：\x0d\\x0d\g_t(t,x) + \mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 \sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = rg(t,x)\x0d\\x0d\这就是Black-Scholes-Merton微分方程。