lim e^ln（（1+3^n）^1/n）
lim e^(ln（1+3^n）/n)
e^lim (ln（1+3^n）/n)
洛必达法则
e^lim (（3^nln3/(1+3^n)）/1)
分子分母同除3^n
e^lim (ln3/(1/3^n+1))
e^ln3
3
三（2）等价变化 =x^2(x/2)/[x³]=1/2 说明x->0 时arctanx，ln(1+x),sinx 等价于x
1-cosx=2sin²(x/2)等价于x²/2
(3) t=1-x t->0 limt sin(π/2-πt/2)/cos(π/2-πt/2)=lim(2/π)[(πt/2)/sin(πt/2)]cos(πt/2)=2/π
(5) x->0- e^(1/x)->0 arctan(1/x)->(- π/2) 左极限=π/2
x->0+ e^(-1/x)->0 arctan(1/x)->(π/2) 右极限=π/2
注：e^(1/x)+1/e^(1/x)-1=1+e^(-1/x)/1-e^(-1/x)
左极限=右极限=π/2 原极限存在=π/2
四 x=0 f(x)=0
x>0 lime^(-nx)=0 f(x)=lim [xe^(-nx)+x^2]/[e^(-nx)+1]=x^2
x<0 lime^(nx)=0 f(x)=lim [x+x^2e^(nx)]/[1+e^(nx)]=x
x≠0 时f(x)连续
x->0+ limf(x)=0 x->0- limf(x)=0
x->0 limf(x)=0=f(0) 在0点连续
f(x)连续
五、夹逼定理 等式<[1+2++n]/[n^2+n+1]=[n^2+n]/[2(n^2+n+1)]->1/2
等式>[1+2++n]/[n^2+n+n]=[n^2+n]/[2(n^2+n+n)]->1/2
原极限=1/2
六 a(1)=2 a(n+1)=2+1/a(n) 显然a(n)>2
a(n+2)-a(n)=1/a(n+1)-1/a(n-1)=-[a(n)-a(n-1)]/[a(n+1)a(n-1)]
a(3)=12/5>a(1) ,a(4)=29/12<a(2)
可证明到{a(2n)}单调下降，{a(2n-1)}单调上升
还可以证明 a(2n+1)-a(2n)=1/[2+1/a(2n-1)]-1/[2+1/a(2n-2)]
=[a(2n-1)-a(2n-2)]/{a(2n-2)a(2n-1)[2+1/a(2n-1)][2+1/a(2n-2)]}
且a(3)<a(2) 可以证明a(2n+1)<a(2n)<a(2)
{a(2n)}单调下降有下届，极限存在 ,{a(2n-1)}单调下降有上届，极限存在
设lima(2n)=x lima(2n-1)=y
由a(2n)=2+1/a(2n-1) 两边取极限可得 x=2+1/y
由a(2n+1)=2+1/a(2n) 两边取极限可得 y=2+1/x
x-y=1/y-1/x=(x-y)/[xy] 可得到x=y
所以x=2+1/x 解得x=1+√2 或1-√2
由于a(n)>2 所以x>2 所以x=y=1+√2
所以liman=1+√2
导语：你的你的他/她是如何认识的，你们之间又发生了什么有趣的故事呢？下面是有趣的表白方法分享，希望大全喜欢！
1、 睡前打电话。他：我睡不着。我：想什么呢他：因为你不是我的。我：那你现在可以安心睡了……
2、 在一个星期五的早晨，刚睡醒，在床上发短信聊天，突然来一句“做我女朋友吧”!傻掉……这个时候脑袋里冒出来一句哪里看到的话：我牙还没有刷呢!然后就谈到现在，三年了~
3、 他把自己灌醉，我把他拖上TAXI，问他家在哪他装醉不出声，结果只好拖到我家，把他扔床上。我在沙发上躺着看了一夜电视，到天亮跑进房一看，他还是昨晚那个姿势，估计真醉了。我决定不委屈自己，凭啥女生睡沙发啊，我爬上床趴在他身边的空地上准备补眠。可耳朵居然隔着床垫听到他打雷一样的心跳声，这小子居然装睡!
4、 中学同学，他是班长。毕业吃散伙饭的时候他拿着话筒说了一堆客套的废话，然后左手顺手一拉扯住我，当着老师同学的面说“做我女朋友吧”，我下不来台，加上确实也不讨厌他，就糊里糊涂答应了。这厮过了好几天才跟我说，拉错人了，要拉的是另一个MM(我和他的共同好朋友)，不过会对我负责的。天地良心，当时我和他什么都没发生。现在结婚3个月了。
5、 每年问几次：让我照顾你好么问到第5年，实在扛不住了，短信回之：好。他立刻昭告天下，通知了几乎所有老同学。结果我大半夜收到无数嘲笑短信：俩大龄青年玩初恋，还好意思拿出来炫!
6、 一直都是好朋友，有一年我面对工作危机非常恐慌，于是短信跟他诉苦，最后问：要是我没工作了，跟你蹭饭行不行没想到他马上打电话过来：喝粥行吗 我说：行。然后就……现在结婚N年了。
7、 两人打游戏打的忘乎所以，双人打，雷电，用一台电脑。打着打着我站着打了，当时打的'很投入，大概坐久了累。“你站着不累啊，坐着打。”于是，被拉到了一个腿上。
8、 印象最深刻的是：我感冒了，他带我去坐旋转的风车，风车速度不快，但是去到最高点的时候，他挨过来，对我说：“能不能把你的感冒传给我”我正呆着，他就吻下来了……
9、 初中同学，毕业许久不曾见面，然后有一次同学聚会后各留了QQ，于是上网聊天。他：你怎么不找男朋友我：……他：你喜欢什么类型的男生我：只要我看顺眼就行。他：觉得我顺眼吗我：挺顺眼(当然只是单纯的回答他蛮顺眼问题，没想的那么深)他：那就做我女朋友吧!我：……他：半小时后来你家，你出来。半小时后他果然出现在我家楼下，一见就被搂住然后被按在墙上kiss。我当时完全蒙掉，就呆呆的盯着他看，就好上了。
10、 我们原本是同事。有次单位聚会，刚好那段时间我心情不好，喝了很多酒，喝醉了，他住我附近，送我回去的路上我就对他说：“我再也不拒绝相亲了，活的那么累，干脆嫁人算了”。然后他就说：“那先考虑一下我行不”我马上说行!然后他送我回家，在门口说你现在醉了，等清醒后再答复我吧。第二天他在楼上的办公室发个短信：“我昨天说的你考虑的怎样我是很认真的，如果你不同意，就算了。”然后我回了个：“好!”我们就开始了，再后来我就成了他老婆了!
11、 男：我想找个爱我的人做妻子，找个我爱的人做情人，你愿不愿意做兼职女：……(羞涩)男：不说话用肢体语言也行，点头是同意，摇头是不反对，不点头也不摇头是默认。女：·#￥%……—(愣，继而暴走)男：默认了女：我怎么就认识了你这么个家伙呢(抓狂，最终同意)
12、 说一个：我和男友是高中同学但从来不认识，毕业后偶然在一起打工，一天我嗓子疼，想吃冰激凌，他：嗓子疼不许吃凉的。我：干吗管我他：你得听我话。我：……他送我回家的路上，聊起各自的初恋他很难受像个小孩，我哄他劝他，怎么也不行后来我说：要不亲亲你吧。然后他亲了我……快3年了，好的跟一个人似的。
13、 我和他前12年都是校友!居然不认识!后来在高中校友录里碰到了。他已经读研了，我大三，俩奔三的人一顿感慨，约了放假回家一起吃麻辣拌，一个月的聊天记录600多页，俩话痨。有一天发着发着信息他突然说想你了，从此深夜里有人思念。
14、 我同学追他们班的女生，那个女生不同意，还说：“立刻在我眼前消失。” 然后那个男的就拉开窗户，跳出去了。(2楼) 结果，骨折了，住了一个月院，出来就成了。
15、 他教我高数，让我背公式，背错了，要受惩罚，然后我的初吻就被抢走了，第一次知道接吻要把舌头伸进别人嘴里……
16、 她：帮个忙行吗他：帮什么忙啊她：帮我拿一下我的手，好吗他：嗯。就这样……。
17、 男：你知道自己喜欢的人站在面前连手都不能牵有多痛苦吗女：(真是挺可怜啊)然后手伸了过去……一月以后~男：你知道只能牵自己喜欢的人的手而不能吻她多痛苦吗女：(真得有点可怜啊)然后被吻了……。终于在一起了，现在两年了。
18、 高考毕业之后，他邀请我去吃冷饮。他：凉吗 我：凉! 他：我给你悟悟! 他就强有力的抱住我打kiss~到现在有两年半了。
19、 和他四年同学，一直都是很铁的哥们，后来我过生日，他说要送我生日礼物，于是就kiss了我!他还说以前祝爸爸妈妈生日的时候都是用这种方式的!晕倒!
20、 当时我们还没在一起的时候，俩人一起走，我总能遇到狗的便便。在我将要踩到的那一刻，他就一把把我拉开，拉着拉着就牵手了~现在再遇到，他看着我踩上去，然后大笑……。
21、 每次出去她都故意穿很少，宁夏这死天气，现在冷的要命，然后她就说，给我暖手!
22、 他：好好学习!我：为什么他：我想和你一起上大学~我：为什么他：我想和你在一起~我：为什么他：我喜欢你。我们好了5年了，而且在同一个城市上大学。
23、 我发消息：小排骨做我女朋友吧。她愣了半天没回。我继续：快说好，不然宰了你!她回:- -好。
24、 那天发短信到凌晨2点，我说：我有点喜欢你。她：……我说：还是算了，我才不要比我还能熬夜的老婆。她：其实下午我睡了3个小时，晚上就不打盹了。我说：老婆，咱们明天早上一起吃饭吧。她：除了豆浆油条，什么都行。一直走到现在。
25、 她：你跑跑那么厉害，要不收我做徒弟吧!他：你这么笨还是算了吧，收你做老婆还差不多~
26、 他：想好了嘛我：我再想想。他：行就行，不行的话我就再想别的办法。我：……你不用想了!
令f(x)=(2x+3)/3x，由于|f(x)-A|=|f(x)-2/3|=|1/x|，
任意ε>0，要证存在M>0，当|x|>M时，不等式|(1/x)-0|<ε成立。
因为这个不等式相当于1/|x|<ε即|x|>1/ε由此可知，如果取M=1/ε，那么当|x|>M=1/ε时，不等式|1/x-0|<ε成立，这就证明了当x->∞时，limf(x)=2/3
极限给“无穷逼近”的思想了一个严格的数学定义，没有这个基础，以后的微分、积分可以说是不可信的，不牢靠的。在牛顿和莱布尼兹发明微积分时就受到过各种责难，其中影响最大的就是对“无穷小”的定义。由于当时还没有对极限的准确定义，所以人们对这门学科实际上是持怀疑态度的，也就是认为虽然微积分可以当作一个工具使用来解决某些问题，但它未必就是正确的。直到极限的准确定义出现后，微积分才成为真正意义上的科学。
高数考研极限题。
1你的做法错在第二个等号，你的每一项展开式代替，这样和差的运算是错误的。
2答案的做法就是直接对原式使用洛必达法则，分子分母同时求导，并用到第二个重要极限定理。
3高数极限题，用洛必达法则是没有同阶的要求的，只要分子分母同时趋于0或无穷即可以用的。
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