常用的全面的幂级数展开公式

常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)

因式分解

={1/(x+1)+1/[2(1-x/2)]}/3

展开成x的幂级数

=(n=0到∞)∑[(-x)^n+

(x/2)^n/2]

收敛域-1<x<1

绝对收敛级数：

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

幂函数y=x^a和指数函数y=a^x的求导公式分别为：y'=ax^(a-1)，y'=a^xlna。

扩展资料

当a的值大于1时，指数函数的增长速率是要比幂函数的增长速率要高的。如下图所示，比如当a=2时，幂函数是y=x^2，指数函数是y=2^x，分别对其求导，可以分别得到y=2x和y=2^xln2。指数函数的增长实际上是一种激增模式，在实际实例中，比如病毒的扩散速率，就跟指数函数非常之像；再比如人口的增长模式，也近乎于一种指数函数。而对于幂函数，其增长速率相对一般。

幂函数的导数是ax^(a-1)。

幂函数导数公式的证明：

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导（1/y)y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

1、取正值

当α＞0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间［0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α＞1时，导数值逐渐增大；0<α＜1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

2、取负值

当α＜0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，＋∞）上是减函数。

c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近＋∞，自变量趋近＋∞，函数值趋近0。

3、取零

当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

幂函数求和公式：s=N+(N-1)+(N-2)++1，其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。

推导的过程：可通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3++N与s=N+(N-1)+(N-2)++1相加得：2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]++[(N-1)+(N-N-1)]+N=N+N+N++N加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3++N与s=N+(N-1)+(N-2)++1相加得：2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]++[(N-1)+(N-N-1)]+N=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数。

又当n为偶数时，由1+2+3++N与s=N+(N-1)+(N-2)++1相加得：2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]++[(N-N-1)+(N-1)]=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数，合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)++1的计算公式。