因式分解的全部形式及分解方法

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式

⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的

⑵运用公式法

①平方差公式： a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2)

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形

1、提公因式法

几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

2、公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

3、待定系数法

例如，将ax2+bx+c(a,b,c是常数，ab≠0)因式分解，可令ax2+bx+c=0，再解这个方程。如果方程无解，则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根(设为m)，则原式可以分解为(x-m)2如果方程有两个不相等的实数根(分别设为m，n)，则原式可以分解为(x-m)(x-n)。

4、十字相乘法（数学术语）

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂。

把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

扩展资料

韦达首先发现了因式分解的工具性和重要性，在其《论方程的整理和修改》中，首先给出代数方程的多项式因式分解方法，并证得所有三次和三次以上的一元多项式在实数范围内皆可因式分解。

1637年笛卡儿（R Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理。

笛卡儿还改进了韦达的一些数学符号，首先用x,y,z表示未知数，用a,b,c表示已知数，这些数学习惯沿用至今。有些人可能讨厌数学，就是因其有太多符号和公式。

没有数学符号，乘法公式用语言叙述是多么啰嗦。故数学的进步在于其引进了较好的符号体系，使用数学符号是近代数学发展最为明显的标志之一。

-因式分解法

因式分解的方法和技巧：十字相乘法，双十字相乘法，提公因式法，因式定理法等。

1、十字相乘法

具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)。

特点：

(1)二次项系数是1。

(2)常数项是两个数的乘积。

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

基本步骤：

(1)把二次项系数和常数项分别分解因数。

(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数。

(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果。

(4)检验。

2、双十字相乘法

一般步骤：

(1)用十字相乘法分解二次项（ax2 + bxy+ cy2），得到一个十字相乘图（有两列）。

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原

式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

(3)先以一个字母的一次系数分数常数项。

(4)再按另一个字母的一次系数进行检验。

(5)横向相加，纵向相乘。

3、提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积

的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式

的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低

的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，

要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：

(1)找出公因式。

(2)提公因式并确定另一个因式。

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母。

②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商

即是提公因 式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一

个因式。

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

4、因式定理法

根据因式定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解的方法

叫做因式定理法。

具体方法:根据因式定理(若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x一

a)，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根，对于任意多项式f(x)，要求出它

的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，若既约分数

q/p是整系数多项式f(x)= AgX"+A|X 1 ++ An-1X+A的根，则必有P是ao的约数，4是an的

约数。特别地，当ag=时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约娄数。

注意:

(1)对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p(pq为互质整数时)该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约娄。

(2)对于多项式f(a)=0，b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5　

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)　

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)　

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)　

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)　

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)　　

注意三原则　

1 分解要彻底　

2 最后结果只有小括号　

3 最后结果中多项式首项系数为正　

归纳方法：　

1、提公因式法。　

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。　

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）　

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。　

例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m；　

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)

注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

2、公式法。　

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。　

平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2

反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)　

完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2　

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2　

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　

两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)　

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)　

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)　

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3　

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　

例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2

3、分组分解法。

4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]　

5、组合分解法。　

6、十字相乘法。

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)，所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解比如说:把x^2+7x+12进行因式分解，上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3)(x+4)

又如：分解因式:a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)

十字相乘法讲解：

x^2-3x+2

如下：　

x -1　

╳　

x -2　

左边x乘x= x^2　

右边-1乘-2=2　

中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x　

上边的x+（-1）乘下边的x+（-2）　

就等于（x-1）（x-2）　

x^2-3x+2=（x-1）（x-2）

7、双十字相乘法。　

8、配方法。　

9、拆项法。　

10、换元法。　

11、长除法。　

12、加减项法。　

13、求根法。　

14、图象法。　

15、主元法。　

16、待定系数法。　

17、特殊值法。　

18、因式定理法。