高斯径向基核函数主要参数有哪些

所谓径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。 通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2σ^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．

（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染 (噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．

（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．

（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长． 2函数的表达式和图形 在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。

高斯多项式是什么

多项式高斯引理

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讨论

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多项式的高斯引理是数论和高等代数中的一条引理，是揭示本原多项式性质的结果。指出：多个本原多项式之乘积本原。

目录1

定义2

证明

定义编辑

高斯引理：如果给定的两个多项式是本原多项式，则它们的乘积本原

[1]

。进一步的，多个本原多项式之乘积也是本原的。

高斯引理在代数（特别是环理论），如果一个整系数多项式的所有系数是互素的,则称它是一个本原多项式，本原多项式对判定不可约多项式有很大帮助，高次多项式的不可约多项式判定一直是个未完全解决的难题。

证明编辑

证：通常采用的证明是反证明的方法

[1]

。只需假定乘积不是本原的，那么必定乘积多项式的系数存在大于1的公约数，换言之，必然存在素数p整除乘积多项式的所有系数。设：

由多项式乘法，乘积多项式

可写为和式：

因为

本原，所以不妨设：

记为()式。

根据假设

本原，可知

，对于一切

。仅需要考虑

的情形，

这时候，考察

部分。注意到

有

，因此上式可进一步处理为：

这要求求和项数非负：

。否则满足和式展开条件的求和项不存在，和式为零——即

在时

必有

，而这些求和项不是我要讨论的对象——考察

的情形，这时候：

这导致或者

，或者

，这与假设的()式矛盾。

再由数学归纳法可以证明，多个本原多项式之乘积本原

QED

=NORMDIST(IF(RANDBETWEEN(0,1)=1,-RAND(),RAND()),0,05,TRUE)

高斯函数，是NORMDIST吧

IF(RANDBETWEEN(0,1)=1,-RAND(),RAND()) 这个是随机生成-1 到 1 之间的数，其他就简单了。

常用的窗函数：

bartlett，巴特利特窗口

调用格式：w = bartlett(L)，%L在列向量中返回一个点的Bartlett窗口w，其中L 必须是一个正整数。

blackman，布莱克曼窗口

调用格式：w = blackman(N)，%返回N列向量中的点对称Blackman窗口w，其中N是一个正整数。

bohmanwin，Bohman窗口

调用格式：w = bohmanwin(L)，%L在列向量中返回一个点Bohman窗口w。Bohman窗口是两个半持续时间余弦波瓣的卷积。在时域中，它是一个三角形窗口和一个余弦单周期的乘积，加上一个术语可以将边界处的一阶导数设置为零。Bohman窗脱落为1 / 瓦特^4。

chebwin，切比雪夫窗口

调用格式：w= chebwin(L,r)，%返回w包含长度LChebyshev窗口的列向量，  其傅里叶变换旁瓣幅度r 低于主瓣幅度dB。默认值为r1000 dB。

gausswin，高斯窗口

调用格式：w = gausswin(N,Alpha)，%返回一个N与Alpha标准差的倒数成比例的高斯点高斯窗口。窗口的宽度与α的值成反比。α值越大，窗口越窄。的值α的默认值至25。

hamming，海明窗口

调用格式：w = hamming(L) ，%返回一个L点对称的Hamming窗口。

hann，汉恩（汉宁）窗口

调用格式：w = hann(L)，%返回一个L对称的Hann窗口。

kaiser，凯撒窗口

调用格式：w = kaiser(L,beta)，%返回L列向量中的-point Kaiser窗口w。beta是Kaiser窗口参数，它影响窗口傅里叶变换的旁瓣衰减。默认值为beta05。

rectwin，矩形窗口

调用格式：w = rectwin(L)，%返回L列向量中  的矩形窗口长度w。该功能是为了完整性而提供的; 矩形窗口相当于没有窗口。

taylorwin，泰勒窗口

调用格式：w = taylorwin(n)，%n在列向量中返回一个点泰勒窗口，w。这个向量中的值是窗口权重或系数。

triang，三角窗口

调用格式：w = triang(L)，%返回L列向量中的一个点三角窗口。

具体应用场合可以查看有关数字信号处理方面的书籍。

以前接触高斯函数觉得很奇怪，在许多领域里面高斯过程都是不可分割的一部分，图像里面有高斯滤波，卡尔曼滤波用的也是高斯等等，。在上了随机过程这门课以后，张灏老师非常详细的讲解了使用高斯过程的动机，最起码现在从一头雾水成了一知半解了吧，这部分内容还是挺有趣的，所以就将它记录一下，免得忘记了。课堂上，老师从三个方面讲述了学习高斯过程的动机。

首先说明一下什么是大数定律和中心极限定理。

分别是独立同分布的随机变量，简称 。

大数定律为，当样本数量趋近于无穷大的时候，他们的和除以总数趋近于均值：

中心极限定理说明当样本数量趋近于无穷大的时候，他们的和除以根号n趋近于一个均值为0，方差为1的高斯分布， ，当然均值和方差的值是由于随机变量决定的，即 ， 。

如何证明这两个定理呢？这里需要引入一个特征函数 ，了解傅里叶变换的人可以知道这就相当于对 做傅里叶反变换。

设 ，所以

可以看到随着样本数量的增多，Y的特征函数随机性是在增加的。

大数定律的证明 ：

对 进行泰勒展开：

其中 是样本的均值，根据 ，所以可以得出在n趋向于无穷的情况下：

易得：

中心极限定理的证明：

前面一部分与上面的正面相似，只不过就是将n变成了根号n，为 ，对其进行泰勒展开，不过这回展开得到二阶项，为：

由于前面规定了均值为0，方差为1，所以上式的第二项为0，可以得出:

现在就需要证明 是不是一个高斯过程的特征函数了，证明过程如下：

设随机变量 ~ ，则

将上式积分里面的e的指数进行配方，配方的要求是将有x的项都放在一起，配方的结果如下：

可以看到积分里面恰好是一个高斯函数，则它的积分为 ，则后面的积分加系数为1，综上所述：

所以若X的均值为0，方差为1，高斯过程的特征函数刚好就是 ，那么就可以得到结论就是中心极限定理的值趋近于高斯分布。这也可以说明了当随机变量的总和除以n的时候，变量的随机性都给抹杀了，而除以根号n，变量之间的关系还是存在的，并没有将随机性全部给抹去。

熵在信息论里面是信息的度量，熵越大，信息的不确定性也就越大，熵的定义如下：

   一般对数以2为底               

在概率分布里面，均匀分布的时候熵是最大的，但是在实际过程中，如果自变量是从负无穷到正无穷，那么均匀分布就不好表示了，所以这里需要求一个最大熵，在自变量的区间从负无穷到正无穷的时候，熵的最大值，也就是最大熵的分布是怎样的呢？最大熵在不同的约束下有不同的最大分布，这里我们就约束到了二阶矩，最大熵就是求满足如下条件的所有概率密度函数 的熵 的最大值

1、 ，当x在支撑集外部时等号成立

2、

3、

4、

证明过程如下：

设 ， 是X的概率密度函数，使用拉格朗日数乘法可以得到下式：

一般这个时候就是对上面的公式求导找出导数为0的点，这里G(f)不仅与 有关，与其导数和x均有关，就相当于一个泛函，函数的函数，所以直接求导就不是那么容易的一件事情了，这里就使用了变分的方法。

将H(t)设置成为 的函数， 是极值函数或者是极值曲线（即让G达到最大值的函数），g是一个可微函数，t是一微量的参变量，其中:

所以在t=0处的导数为：  (因为 为极大值）,那么  (对数是以e为底）

由于导数是在t=0的时候为0，所以将t=0代入上式：

可以得到在约束到二阶矩的最大熵为高斯分布，不过一定得注意最大熵并不一定都是高斯分布，他与概率密度函数的约束有关。

想象一下比如说有n个分子，在一维的空间中运动，你会使用什么样的模型来描述它呢？由于分子之间存在相互碰撞，如果仅仅研究单个分子的运动是很难的，因为分子之间是相互影响的。爱因斯坦在1905年就提出了一个用统计模型来描述分子运动的方法。设一个模型为：

则分子的分布为：

（1）

分别对两个变量进行泰勒展开：

将两式分别带入方程（1）可以得到：

这是一个扩散方程， ，通过它可以得到：

这就是一个高斯函数，由于自己的物理实在是不行，这个扩散方程就不细讲了。不过，可以知道的是许多噪声都来源于分子的热运动，所以这也能解释为何有时候噪声的设定会喜欢用高斯了。

以上就是课上老师所讲的使用高斯过程的原因，当然里面还有许多细节部分还是需要推敲的，但我觉得能理解这些大概的就可以了，高斯过程是一个很奇妙的过程，它的性质也有很多，最重要的还是得去理解它本身的性质。后期有时间再记录高斯过程这个性质和它的变体吧。

张灏老师的随机过程