函数的幂级数展开的研究现状？

函数的幂级数展开是一个古老而重要的数学研究领域，涉及到函数的解析性质、微积分、数学物理等多个领域。以下是该领域的一些现状：

1 基本理论：幂级数展开的基本理论已经很成熟，包括幂级数的收敛性、收敛半径、唯一性等问题。其中最著名的是Weierstrass M-test和Abel定理。

2 应用领域：幂级数展开在各种数学和物理问题中都有广泛应用。比如在微积分中，幂级数可以用来表示函数的Taylor级数，从而进行近似计算和分析。在数学物理中，幂级数展开也被用来描述物理系统的行为，比如在量子场论和统计物理学中，幂级数展开被用来计算各种物理量。

3 近年研究：近年来，幂级数展开的研究重点已经从基本理论转向了更加应用的问题，如多复变量幂级数展开、特殊函数的幂级数表示、非线性偏微分方程中的幂级数方法等等。此外，幂级数展开的计算方法也得到了大幅改进，比如自适应网格方法、边界元法等数值方法已经广泛应用于幂级数展开计算中。

4 未解决问题：虽然幂级数展开的基本理论已经很成熟，但是仍有很多有趣的问题等待解决。比如如何对非解析函数进行幂级数展开、如何将幂级数展开应用到高维问题中、如何将幂级数展开与其他数学方法进行结合等等。这些问题的解决将推动幂级数展开研究向更加深入的方向发展。

　数学思维导图可以有意识地培养学生的思维外显能力。下面我精心整理了初二数学实数思维导图，供大家参考，希望你们喜欢!

初二数学实数思维导图汇总 实数的完备有序域

　实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

　首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素 ， 将更大)。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

　另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从(有理数)有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

　这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然，并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从(有理数)阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

　“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 的子域。这样 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

实数的基本定理

　实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

　一、上(下)确界原理

　非空有上(下)界数集必有上(下)确界。

　二、单调有界定理

　单调有界数列必有极限。具体来说：

　单调增(减)有上(下)界数列必收敛。

　三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)

　对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

　四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理)

　闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

　五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)

　有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。

　六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)

　有界数列必有收敛子列。

　七、完备性(柯西收敛准则)

　数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

　注：只有充要条件的命题才能称之为“准则”，否则不能称为“准则”。

　以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。

　在闭区间上连续函数的性质的证明中，实数系的基本定理是非常重要的工具，但是它们之间的等价性不能说明它们都成立，必须要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而以上的命题都成立，进过反复仔细琢磨，问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》 中，可以用实数的连续性来推出确界定理，在华东师范大学数学系编的《数学分析(上册)》(第四版)中就通过实数十进制小数形式推出确界定理，这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上，应该是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最后得到严格的微积分理论，但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的极限理论是在19世纪初才开始建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末实数理论才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。

1 叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。

2 简述Bernstein定理。

3 给出聚点的定义。

4 叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。

5cantor集是如何构成的？它的势是多少？

6 中任何非空的有界开集是如何构成的？

7 的势比的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？

8 无穷集合最小的势是多少？

9 什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？

10 可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？

11的有理数可排列为因而可按大小重新排列，对吗？为什么？

12 任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明

13 任意开集的交一定是开集吗？举例说明

14 用简单例子，描述测度的定义。

15 简单说说为什么可数点集的测度为0 测度为0的集合一定可数吗？

16可测函数的定义是什么？

17请简要叙述简单函数的定义。

18请列举出可测函数的运算性质。

19什么是可测函数列在上几乎处处收敛到？

20 可测函数列可测函数列在上几乎处处收敛到，与在上一致几乎收敛于有什么关系？

0 前言

微积分的基本思想是以直为曲，也即用直线来逼近曲线，在中国古代，刘徽，祖冲之计算圆周率用的割圆术就是典型的微积分方法，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”魏晋南北朝时期的祖冲之说的更简单：以曲为直逼近。在古代巴比伦，希腊都用这种方法来处理曲线计算问题，有史可查的记录是公元前三世纪，古希腊的阿基米德计算抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积时，就用了直线逼近。

所以在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）发明微积分之前，很多实际上的微积分的工具已经开始运用在科学和工程之中。例如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都用这种以直为曲的逼近方法计算工程问题。

但是微积分为什么说是十七世纪牛顿和莱布尼茨发明的呢，我觉得主要是两点：第一点是引入了函数概念来描绘变量；第二点是发明了一套符号体系，可以计算各种初等函数微分（初等函数简单说就是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数）。

牛顿和莱布尼茨发明的最原始的微积分可以解决以下问题：

求即时速度的问题；求曲线的切线；求函数的最大值和最小值；求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等等。

牛顿和莱布尼兹最本质的贡献是把求切线问题（微分学的中心问题）和求积问题（积分学的中心问题）变成一个问题。这就是著名的牛顿——莱布尼兹公式。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的基本思想是以曲为直，逐步逼近，其中创造是引入了无穷小量Δ，因此微积分也称为无穷小分析。

不过他们两个有区别：牛顿从运动角度入手，莱布尼茨从几何角度路入手。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

莱布尼茨1684年发表世界上最早的微积分文章：《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，创立了现代的微分符号和基本微分法则（远远优于牛顿的符号，现在使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨创造的），1686年，莱布尼茨发表了人类第一篇积分学的文章。

微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解。例如牛顿应用微积分及微分方程从万有引力定律推导出了开普勒行星运动三定律。微积分也极大的推动天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学等的发展。

虽然原始微积分是一种强大计算工具，但是从逻辑上讲，牛顿和莱布尼茨的工作都是很不完善的，他们为了计算微分，引入的无穷和无穷小量概念，其实没有说清楚是个什么东西，例如牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨干脆回避解释。无穷小的逻辑基础存在的问题导致了第二次数学危机的产生。

19世纪初，法国的柯西对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来德国的魏尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分在逻辑上站住脚，而不仅仅是一种计算工具。

微积分的基础概念是函数和极限。前者是微积分的工作对象，后者是微积分的基本工作技巧。本文的描述为了让非数学专业的人能够看下去，采用了大量描述性语言，严谨是谈不上的，只能算瞎扯，或者说是漫谈。

1 函数

函数概念是人类一个很伟大的发现，价值不下于对于数的发现，也是高度抽象的产物。

不过函数的思想却很早，至少在公元前就有了：因果关系，也即有因必有果，一个因对应一个或多个果，或者一个果对应多个因。

这在中国《易经》中已经有成熟的体现（其实《易经》就是64变量的函数论），正因为有了这种因果关系概念，中国远古时代我们先人就有了成熟精妙的辩证法（比黑格尔的辩证法高级多了，精细多了）。西方辩证法也是在有了成熟的函数概念后才成熟的。恩格斯就说过：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学”。

不过近代函数概念直接来源于代数方程中对不定方程的求解。

笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，引入了现代函数的思想。英国人格雷果里在1667年论文《论圆和双曲线的求积》给出了函数的定义：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是加减乘除开方五种代数运算以及求极限运算。

不过现在我们看到的函数定义来自于德国人莱布尼兹，他在1673年论文中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。直接定义了：函数表示依赖于一个变量的量。

紧接着函数概念被不断改进，第一个重要改进是瑞士人约翰伯努利于1698年给出的：由变量和常量用任何方式构成的量都可以叫做的函数。这里的任何方式包括了代数式和超越式。

第二个重要改进是1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义：变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。现代函数的符号就是欧拉发明的。欧拉还区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。

1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数。这个定义，为辩证法数学化打开了大门。

第三次重要改进是从函数的几何特性开始的，是1746年达朗贝尔给出的，把曲线称为函数（因为解析表达式在几何上表示为曲线）。但是后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义：平面上随手画出来的曲线所表示的x与y的关系。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。

在整个十八世纪，函数定义本质就是一个解析表达式（有限或无限）。

第四次最重要的改进是1821年柯西在《解析教程》中，给出了如下函数定义：在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的变化一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。

不过函数精确定义是德国人狄利克里于1837年给出的：若对 的每一个值， 总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称 是 的函数。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想。

对应思想是人类伟大的发现，后来的映射，同构，同态等等概念来源于此，这是这个概念最伟大的地方。

当然我们知道狄利克里伟大，主要不是他给出函数的科学定义，而是他给出了著名的狄利克里函数，这个函数是难以用简单的包含自变量 的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。

为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数 的自变量，可以不必取 中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是 的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。

最后，我们要说说现代数学理解的函数（来自于美国人维布伦）：设集合 、 ，如果 中每一个元素 都有 中唯一确定的元素 与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合 到集合 的映射，记作 ： ，即 。

不过从布尔巴基以后，基于数学结构的函数概念更进一步抽象，从函数、映射进化到关系：

1939年布尔巴基用集合之间的关系定义了函数：设 和 是两个集合， 中的每一个元素 和 中的每一个元素 之间的一个关系 称为函数，如果对每一个 ，都存在唯一的 ，它们满足给定的关系。记作 ： 。在布尔巴基的定义中， 和 不一定是数的集合，函数是集合之间的一个关系。也即设集合 和 ，定义 与 的积集 如下：

积集 中的一个子集 称为 与 的一个关系，若 ，则称 与 有关系 ，记为 ，若 不属于 ，则称 与 无关系 。设 是 与 的关系，即 ，如果 ， ，必有 ，那么称 为 到 的映射或函数。

这个定义回避了对应这种模糊不清的描述语言，而且把函数从单纯的数的概念推广到一切对象，例如结构，图像，集合等等。

不过微积分要处理的函数概念还是原始的，甚至只能处理初等函数。特点就是函数自变量的变化范围是数域，也即函数定义域与因变量的变化范围值域都是数域。这就是微积分的工作对象。这个对象可以描述一部分基于初等函数规律描述的变量跟结果的因果关系，通过对这种因果关系的分析和计算，人类就能预测或控制符合相应初等函数规律描述的事件或事物的因果关系，例如各种工程设备，武器系统等等，就能建立工业文明。

2 极限

极限是微积分的主要工作技巧。微积分就是建立在极限概念上（包括级数）来处理初等函数因果关系的一门学科。

极限技巧一般是：对无法把握的连续变量，用可以计算的序列（例如数列，时间序列，多项式序列等等）逐步逼近变量，并能够证明这些序列可以无限逼近所求的未知量，然后计算这个序列的极限就可得到变量。

极限思想是微积分的基本思想，函数的连续性，导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

所以可以说：微积分就是用极限思想来研究函数的一门学科。

极限的思想在刘徽割圆术就有了，但是仅仅是一种计算方法，而不是一个思维方式。真正的现代极限思想来自于16世纪荷兰人斯泰文计算三角形重心过程中，用逐步逼近方式逼近重心。

牛顿和莱布尼茨最早并不是用极限思想来建立微积分的，他们的概念基础是无穷小，但是由于无穷小是个逻辑上有瑕疵的概念，导致微积分的逻辑基础无法自洽。

例如牛顿用路程的改变量 与时间的改变量 之比 表示运动物体的平均速度，让 无穷小，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分，他并没有极限概念，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。这是一种几何直观而不是逻辑，就像小孩在纸上顺便划一下圆，就说是太阳。所以牛顿说不清楚他理解的无穷小到底是是什么。其实牛顿的说法如果用极限概念，很容易在逻辑上说清楚：如果当变量（例如时间 )无限增大或变量的差无限接近0时 ，则 无限地接近于常数 ，那么就说 以 为极限，这个极限就是 （路径函数）在 时的导数。

不过上述无限的概念仍然是几何直观的，并没有用逻辑描述出无限这个过程是什么，也没有定量地给出 和 两个无限过程之间的数量联系，所以在逻辑上仍然有漏洞。

所以牛顿和莱布尼兹的微积分不断受到怀疑和攻击，例如最常见的质疑是贝克莱大主教的：在瞬时速度概念中，究竟 是否等于零？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些项去掉呢？这就是数学史上所说的无穷小悖论。

牛顿由于没有极限概念，无法回答这种质疑，只能混战。主要原因是微积分起源于人类计算需要从常量扩展到变量，但是牛顿采用处理常量的传统思想来处理变量。

18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人明确表示极限是微积分严格化的基础。其中最接近现代定义的是达朗贝尔的极限定义：一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。但是这些定义都无法摆脱对几何直观的依赖。例如什么叫“接近”，逻辑上的含义是什么，其实还是几何直观。

现代极限概念来自于柯西。19世纪，柯西出版的《分析教程》定义：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。

柯西把无穷小视为以0为极限的变量，也即无穷小不是似零非零，无穷小非零，只是其极限为零。

魏尔斯特拉斯把柯西的语言翻译成ε-δ语言，给微积分提供了严格的理论基础。

所谓 是指：如果对任何 ，总存在自然数 ，使得当 时，不等式 恒成立

这个定义，借助不等式而不是几何直观，通过 和 之间的关系，定量刻划了两个无限过程之间的联系。这个定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。

这个定义，本质揭示了无限与有限有本质的不同：无限个数的和不是一般的代数和，它是部分和的极限，是动态过程，而非静态计算结果。

举例来讲，用任何静态计算，都无法计算出变速直线运动的瞬时速度，因为速度是变量。这其实就是量变和质变的一个例子：量变能引起质变。例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就变成圆，多边形面积便转化为圆面积，这就是量变到质变，这就是极限概念的本质。

极限是区分初等数学和高等数学的分界线，初等数学处理静态问题，高等数学可以处理非静态问题了，例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题。

极限概念中，最重要的定理，非魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理莫属，这个定理的简单表述是：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。

这个定理意味着任何连续函数，都能构造一个多项式函数来逼近它，而多项式函数的导数，微分，积分的计算，简单易行，也即这个定理解决了连续函数的近似计算的逻辑基础问题：存在性。

这个定理最著名的证明是苏联数学家伯恩斯坦构造的著名的伯恩斯坦多项式，这个方法开启了函数构造法这一研究领域（当然对周期性的函数，还可以用三角级数，也即傅利叶级数逼近）。用多项式函数或三角级数逼近连续函数，是现代工程解决问题的主要方法，例如通信领域，如果不懂傅利叶级数，基本寸步难行，在流体力学、结构力学和弹性力学领域，不用多项式函数逼近，也基本无法计算海量的变量函数。函数构造方法其实是计算数学算法的基础（伯恩斯坦多项式符号太多，无法介绍，有兴趣可以上网搜索：伯恩斯坦多项式即可，有魏尔斯特拉斯定理用伯恩斯坦多项式证明的全过程）。

魏尔斯特拉斯本人最初的证明，是使用的核函数（正态核），并将核函数展开成一致收敛的幂级数，截取前面有限部分就构造出了逼近多项式。现在教材上选取的核函数是Landau核，这个核函数本身就是多项式，因此相比原证明减少了一步，但本质没有改变。魏尔斯特拉斯本人最初的证明不如伯恩斯坦的证明那么直截了当，那么优美（可以翻教科书参考，如果想详细了解过程，可以看菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，这是经典微积分教材）。当然这个定理最直观的证明是勒贝格的折线逼近法：闭区间上的连续函数可以用折线逼近 （可以查书）。

极限是微积分的核心概念，微积分处理初等函数变化，一般都涉及无穷概念，无穷概念只有从极限角度理解，才能正确描述和把握，其实描述极限的语言体系是 语言是一个相当于公理体系的定义， 意义下的极限是一种公理定义下的逼近，这种逼近不是几何描述的，所以没有逻辑悖论的可能。

逼近的常见技巧是放缩和夹逼，也即不等式是极限的主要技巧。

微积分中讨论的连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等等概念都是基于极限的思想方法给出。

3 连续

微积分主要对象是初等函数，初等函数的本质性质就是连续，这是很本质的核心问题。换句话说，微积分主要工作对象就是连续函数。

其实人类在直到牛顿、莱布尼兹时代，并不知道还有非连续的函数概念。预先假定都是连续的，而且他们对连续函数理解仅仅是几何直观，把能一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数。例如伽利略所研究的落体运动，开普勒所研究的绕日运转的行星所扫描的扇形面积，牛顿所研究的流等都是连续变化的量。

所谓连续，直观解释就是运动变化的过程连绵不断，连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型。

微积分是以直为曲的，所以对连续函数也要进行这种处理，例如柯西和魏尔斯特拉斯就用离散的多项式来逼近连续函数，这就是极限理论的由来，有了极限，才开始真的能够把握连续函数的性质。

最早人类理解连续函数，就是当x逐渐改变时，函数f(x)的相应变动也是逐渐的，不会有任何突增或突减的跳跃式振荡。但这种理解毫无用处，因为既不能计算，也不能控制。

函数连续的精确表述

设函数在点的某一邻域内有定义，任给大于零，存在大于零，当时，恒有

则称函数在点点连续

这种描述函数连续的语言称为微积分的基本语言： 语言。用 语言定义的连续函数，就能计算其极限问题，这是微积分的重要内容，因为微分本质就是计算极限。

而连续函数求极限这种复杂问题本质是可以转化为求函数值的问题的，即在 处连续的函数 ，有

这就可以大大简化求极限难度。

我们知道，函数的连续性是一个局部性质，对区间也不例外。但如果是闭区间上的连续函数，却能把局部性质转化为整体性质，像闭区间上连续函数的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致连续性等。

用 语言，能够很容易得到连续函数的性质：

局部有界性定理

若函数 在点 连续，则 在 的某邻域 内有界。

局部保号定理

若函数 在点 连续，且 （或 ），则对任何正数 （或 ），存在某 ，使得对一切 有 （或 ）。

四则运算定理

若函数 和 在点 连续，则 ， ， (这里 )也都在点 连续。

复合函数定理

若函数 在点 连续， 在点 连续， ，则

海涅（Heine)定理

存在的充分必要条件是对任给的序列 ，若满足

总有 存在且极限值相同。

最大、最小值定理

若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大值与最小值；或称函数 在 上达到最值。

推论（有界性定理）

若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界。

介值性定理

设函数 在闭区间 上连续，且 。若 为介于 与 之间的任何实数，则至少存在一点 ，使得 。

根的存在定理

若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，则至少存在一点 使得 。即方程 在 内至少有一个根。

反函数连续定理

若函数 在 上严格单调并连续，则反函数 在其定义域 或 上连续。

初等函数的连续定理

任何初等函数在它的定义域上都连续。

未完，待续

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实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。

一、上（下）确界原理

非空有上（下）界数集必有上（下）确界。

二、单调有界定理

单调有界数列必有极限。具体来说：

单调增（减）有上（下）界数列必收敛。

三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）

对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）

闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）

有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）

有界数列必有收敛子列。

七、完备性（柯西收敛准则）

数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

扩展资料

单调有界定理注意事项

1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；

2、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。

——单调有界定理

——实数公理

数学会培养人两种思维方式：同构映射和分析还原。

同构映射是指面对一个复杂问题或复杂系统，先把其本质结构抽象出来，映射到一个同构或同态的我们了解的结构上去，通过这个我们了解结构的性质和变化规律，反过来了解复杂问题或结构的性质和变化规律。

这个思维方式是抽象代数，微分几何和拓扑典型的方式，最早是伽罗华在研究一元N次方程代数解的过程中发现的，通过讨论解结构同构的交换群的对称性质，得到了5次以上方程不可能代数解这种 超出常识和直觉的结论。

其实现在这种思维方法已经非常普及，我们在处理政治，军事，经济问题时，经常采用同构映射方法， 把问题化繁为简，把复杂问题变成一个我们了解的结构上的问题。

分析还原是数学分析的典型方法，简单说就是 分而治之 ，把一个复杂系统或复杂问题分解成一堆模块，而这些被分解的模块，往往是已经了解或者利用现有知识和技术容易搞清楚的，然后搞清楚这些模块，再组合还原到原始系统或原始问题，根据研究模块得到的判断，来对整体问题或系统进行判断。

例如魏尔斯特拉斯定理：任意一个连续函数可以用多项式级数逼近就是这种思想，把连续函数展开成多项式（泰勒级数和傅利叶级数是其具体表达形式之一），通过研究容易得多的多项式性质（例如微分，积分，连续），然后通过收敛性判断还原到原来函数性质。

分而治之在国家管理、巨型项目管理和巨型企业管理中是常用方法，那就是 任务分解 ，当然这个管理方法的核心是分解后的还原和分解后模块处理过程的控制协调。

所以，数学提供的思维方式，简单说就是映射+极限（所以搞清楚这两个名词的含义十分有价值），稍微复杂一点说就是化繁为简+分而治之，最准确说就是同构映射+分析还原。 这套思维方法，能够让我们准确，迅速，简单明了抓住问题重点，了解核心问题，听懂别人云山雾罩后面的想法和本质。

人类到目前为止，可能主要天才的大多数不是物理就是数学，数学有若干人类耀眼的天才留下的巨大思维财富。数学的天才我们大多耳熟能详，举例来讲，牛顿，莱布尼茨，高斯，欧拉，黎曼，拉格朗日，拉普拉斯，柯西，伽罗华，阿贝尔，康托，魏尔斯特拉斯，狄利赫里，庞加莱，希尔伯特，哥德尔，诺特，巴纳赫，柯尔莫哥洛夫，冯诺依曼等等。 当然物理学的天才也是熠熠生辉的，例如牛顿，爱因斯坦，麦克斯韦，伽里略，海森堡，薛定鄂，狄拉克，普朗克，玻尔，洛仑兹，法拉第，杨振宁，费曼等等。

这里稍微要说几句杨振宁。杨振宁创立的 规范场论 ，在现代物理学中地位非常重要，与量子力学和相对论可以相提并论，1994 年，美国富兰克林学会颁发鲍尔奖给杨振宁时，对他的评价是极高的：

不管怎么说，杨振宁的规范场论，已经排列在牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦这一类伟大的工作之列。他是目前唯一还活着的人类最伟大的物理学家，没有之一。当然，判断一个学科是否伟大，不仅仅是看其诞生了多少天才，更需要看其发现或证明了多少 超出直觉和常识的伟大定理 。

例如数学中，就有哥德尔不完全性定理（公理系统存在不可证伪，也不可证真的命题）；Brouwer 不动点定理（连续映射存在不动点x0=f(x0))；诺特定理（系统每一个对称性对应一个物理守恒定律）；康托连续统的不可数性定理；科恩对ZF公理系统连续统假设的不可判定性定理；伽罗华定理（5次以上方程无根式解）；魏尔斯特拉斯连续函数逼近定理（包括泰勒定理和傅里叶级数收敛定理）；牛顿--莱布尼兹分微积分基本定理（积分是微分的逆运算）；中心极限定理（多因素干扰下的随机系统收敛于正态分布）等等伟大定理。

当然不仅仅是数学有伟大定理，在经济学中，也有一些超出人类直觉和常识的伟大定理，例如科斯定理（交易成本为零时，产权与效率无关）；阿罗均衡存在定理（供需一定有平衡点）；阿罗不可能定理（不存在绝对公平）；萨缪尔森大道定理（经济增长一定存在最优路径）；资源优化存在定理（凸约束下，非劣解一定存在）；网络分工优化存在定理（分工网络存在最优解）等等。 不过人类发现的超出常识和直觉最伟大的定理还是物理学的，例如：

当然，不仅仅数学在训练人的思维方式，其他学科也在，只是不这么理直气壮而已。例如经济学就强调实证（为类比提供对象）和归纳（类比）的思维方式；而管理学强调 仿真建模 （本质是搭建信息流，物流和资金流的逻辑结构和反馈通道，构建计划、组织、指挥、控制和协调平台）和流程（本质是建立一直算法，对数学来讲，任何步骤，次序，流程都是算法）。

但是从思维培训的效率来讲，远远不如数学。一般情况下，一个具有成熟经济学思维方式的人，至少需要20年时间才能形成，管理学也需要十年，而数学培养出熟悉化繁为简+分而治之的思维方式，一般情况5年就能成功。

思维方式是人类知识的结构，没有结构的知识，就是一堆散件，也就相当于散装水泥，乱堆的砖头，一团乱麻的钢材和满地的玻璃碎片。有结构的知识，可以成为一幢摩天大厦。 所以： 知识不是力量，思维方式才是力量。

成功不靠知识多少，而是靠运用知识的能力----你的思维方式是否强大。知识不能改变命运，改变命运靠你的知识组成的大厦的高度。 最后再强调一点，保持自己的好奇心和好学，是保证自己思维面对复杂问题或复杂系统时，还能象小刀切黄油一样简单明了的唯一方法。

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