大学高数题

1 f(x) = ∫<0, x> (x-t)e^(-t^2)dt = ∫<0, x> xe^(-t^2)dt - ∫<0, x> te^(-t^2)dt

= x∫<0, x> e^(-t^2)dt - ∫<0, x> te^(-t^2)dt (对 t 积分，x相对于常量，可提到积分号外)

f'(x) = ∫<0, x> e^(-t^2)dt + xe^(-x^2) - xe^(-x^2) = ∫<0, x> e^(-t^2)dt

df(x) = f'(x)dx = [∫<0, x> e^(-t^2)dt] dx

2 dy/dx = y'<t>/x'<t> = 3t^2/(2t) = (3/2)t, t = 2 时， 切线斜率 k = (3/2)t = 3，

切点 （5，8）， 切线方程 y-8 = 3（x-5）， 即 3x-y-7 = 0

2

y'=1+lnx=2

x=e

y=e

3

∫1/xf(lnx)dx=∫f(lnx)d(lnx)=lnxe^(-lnx)+C=(1/x)lnx+C

4

A

F(x)为y轴,x=x0,f(x),x轴围成的图形面积

5

相互独立事件

P(AB)=P(A)P(B)=048

6

函数连续的条件

lim f(x)=lim f(x)=f(x0)

x->x0+ x->x0-

这是两个曲面相交形成的曲线，应该用书上第二种形式的。头一个式子对x求导有dz/dx=f'x (dy/dx)+f'x (dx/dx) (这个应该知道吧)，下面一个对x求导有dy/dx=0,可求出dz/dx=0+3=3,dy/dx=0,dx/dx=1。故可求得你说的答案。

解：

1罗毕塔法则：

lim ln(1+e^x)/x

=lim ln'(1+e^x)/x'

=e^x/(1+e^x)

=0

2lim(1+a+a^2+a^n)/(1+b+b^2+b^n)

=(1/1-a)/(1/(1-b))（等比数列求和公式）

=(1-b)/(1-a)

3原式=lim2^(1/2+1/4+1/8+)=2^1=2

4lim(1-1/2^2)(1-1/3^2)

=(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)/(2^23^2)

=1/2

5lim(1/(12)+1/(23)+

=1-1/2+1/2-1/3+1/4-1/5

=1

6 lim(sinax-sinbx)/sinx

=(limsinax/x-limsinbx/x)/lim(sinx/x)

=(a-b)/1

=a-b

解：1f(x)+f(1/x)=∫(1,x)[lnt/(1+t)]dt+∫(1,1/x)[lnt/(1+t)]dt

=∫(1,x)[lnt/(1+t)]dt+∫(1,x)[ln(1/t)/(1+1/t)]d(1/t) (第二个积分用1/t代换t)

=∫(1,x)[lnt/(1+t)]dt+∫(1,x)[-lnt/(1+1/t)](-1/t²)dt

=∫(1,x)[lnt/(1+t)]dt+∫(1,x)[lnt/(t(1+t))]dt

=∫(1,x)[lnt(1/(1+t)+1/(t(1+t))]dt

=∫(1,x)(lnt/t)dt

=∫(1,x)lntd(lnt)

=[ln²t/2]│(1,x)

=ln²x/2

2∵对应于[0,x]一段曲线的弧长为e^x-1

∴e^x-1=∫(0,x)√[1+(f'(x))²]dx

==>e^x=√[1+(f'(x))²] (两端求导数)

==>e^(2x)=1+(f'(x))²

==>(f'(x))²=1-e^(2x)

==>f'(x)=√[1-e^(2x)] (∵当x>0时f(x)>0，∴f'(x)>0)

==>f(x)=∫[1-e^(2x)]dx

=√[e^(2x)-1]+arcsec(e^x)+C (C是积分常数，中间求解过程约去)

∵曲线y=f(x)过原点，即f(0)=0

∴有C=0

故f(x)=√[e^(2x)-1]+arcsec(e^x)。