负数方程的解法(急用,快!)

负数方程的解法(急用,快!),第1张

第一道 -3x=x-8

-4x=-8

x=2

第二道 4(x+17)-5(3x-7)=-3

-11x+103=-3

-11x=-106

x=106/11

教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

重难点关键

1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.

2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)用配方法解下列方程

(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52

(老师点评) (1)移项,得:6x2-7x=-1

二次项系数化为1,得:x2- x=-

配方,得:x2- x+( )2=- +( )2

(x- )2=

x- =± x1= + = =1

x2=- + = =

(2)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).

(1)移项;

(2)化二次项系数为1;

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;

(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

二、探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.

问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2=

分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

解:移项,得:ax2+bx=-c

二次项系数化为1,得x2+ x=-

配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2

即(x+ )2=

∵b2-4ac≥0且4a20

∴ ≥0

直接开平方,得:x+ =±

即x=

∴x1= ,x2=

由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:

(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2

(3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.

解:(1)a=2,b=-4,c=-1

b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=240

x=

∴x1= ,x2=

(2)将方程化为一般形式

3x2-5x-2=0

a=3,b=-5,c=-2

b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=490

x=

x1=2,x2=-

(3)将方程化为一般形式

3x2-11x+9=0

a=3,b=-11,c=9

b2-4ac=(-11)2-4×3×9=130

∴x=

∴x1= ,x2=

(3)a=4,b=-3,c=1

b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-70

因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

三、巩固练习

教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)

四、应用拓展

例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.

(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.

你能解决这个问题吗?

分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.

(2)要使它为一元一次方程,必须满足:

① 或② 或③

解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2

m2=1 m=±1

当m=1时,m+1=1+1=2≠0

当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)

∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0

a=2,b=-1,c=-1

b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9

x=

x1=,x2=-

因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- .

(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0

因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0

所以m=0满足题意.

②当m2+1=0,m不存在.

③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0

所以m=-1也满足题意.

当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,

解得:x=-1

当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- .

五、归纳小结

本节课应掌握:

(1)求根公式的概念及其推导过程;

(2)公式法的概念;

(3)应用公式法解一元二次方程;

(4)初步了解一元二次方程根的情况.

六、布置作业

1.教材P45 复习巩固4.

2.选用作业设计:

一、选择题

1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).

A.x= B.x=

C.x= D.x=

2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).

A.x1= ,x2= B.x1=6,x2=

C.x1=2 ,x2= D.x1=x2=-

3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ).

A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

二、填空题

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.

2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.

3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

三、综合提高题

1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.

2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=- ,x1·x2= ;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费.

(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)

(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份用电量(千瓦时)交电费总金额(元)

3 80 25

4 45 10

根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

答案:

一、1.D 2.D 3.C

二、1.x= ,b2-4ac≥0 2.4 3.-3

三、1.x= =a±│b│

2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,

∴x1= ,x2=

∴x1+x2= =- ,

x1·x2= · =

(2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0

原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)

=0

3.(1)超过部分电费=(90-A)· =- A2+ A

(2)依题意,得:(80-A)· =15,A1=30(舍去),A2=50

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