初2数学 要用勾股定理 ！ 会的教教！

在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a^2+b^2=c^2

定义　　在任何一个直角三角形（RT△）中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方 （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。） 

简介　　勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是： 

　　命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。 

　　命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。 

　　命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。 

　　命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。 

　　命题5：等腰三角形两底角相等。 

　　他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 

　　勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 

　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2;+b^2;=c^2；。 

勾股定理指出　　直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 

　　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a²+b²=c²。 

　　勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 

　　中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。 

   

 

推广　　1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 

　　2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。 

   

勾股定理

勾股定理定理　　如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 a²+b²=c²。 

　　即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 

   

古埃及人用这样的方法画直角

　　还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²） 

逆定理　　一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。（称为勾股定理的逆定理） 

勾股定理的来源　　毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。 

   

毕达哥拉斯

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 

勾股定理的别名　　勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 

　　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 

　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 

　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 

有关勾股定理的书籍　　《数学原理》人民教育出版社 

　　《探究勾股定理》同济大学出版社 

　　《优因培教数学》北京大学出版社 

　　《勾股书籍》 新世纪出版社 

　　《九章算术一书》 

　　《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 

　　《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社 

毕达哥拉斯树　　毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 

勾股定理(毕达哥拉斯定理)是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg163com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410Cgif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg163com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCBgif

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

各具特色的证明方法

[编辑本段]

三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。

最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

同理，(BC)2=KEBL

所以

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

c/b=b/m，

c/a=a/n,

cm=b2

cn=a2

两边相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为

AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

所以 △ACE≌△AGB

SAEML=SACFG (1)

同法可证

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)得

SABDE=SACFG+SBKHC，

即 c2=a2+b2

证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以 a2+b2=c2

证法3 如图26-4（梅文鼎图）。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设

五边形ACKDE的面积=S

一方面，

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

=c2+ab (1)

另一方面，

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

+2倍△ABC面积

=b2+a2+ab (2)

由(1)，(2)得

c2=a2+b2

证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

设五边形EKJBD的面积为S。一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

另一方面，

S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

由(1)，(2)

得出论证

都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ettedaeducom/21010000/vcm/0720ggdldoc