数学中有哪些非常漂亮的公式

数学中非常漂亮的公式有：

1、麦克斯韦方程组（The Maxwell's Equations）

如果你能看懂这组方程，并为之虎躯一震，认为只有上帝才能创造如此完美的公式，那更恭喜你，你离一流科学家不远了。

简单地说，这是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程，由两个散度方程两个旋度方程组成，相互之间耦合，变化万千。比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。”

2、 欧拉公式（Euler's Identity）

十八世纪为“欧拉时代”，欧拉也被称神人。

这个公式是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

3、牛顿第二定律（Newton's Second Law of Motion）

牛爵爷会迟到，但用于不会缺席，尽管牛顿看谁撕谁，牛逼哄哄且不近人情。但我们这等凡人只能跪在他脚边，乖乖接受他的俯视。

在《自然哲学的数学原理》，经典物理学中最伟大的核心定律，动力的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。

4、勾股定理/毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）

中国周朝的商高提出“勾三股四弦五”， 却没有去深究这背后的奥秘，而毕达哥拉斯则得出背后的规律。

这位数字原教旨主义者高举 “万物皆数”的暴君，爱上数学真不是故弄玄虚，毕达哥拉斯定理是人类历史上第一次让数字与几何完美融合。

5、质能方程（Mass–energy Equivalence）

史上最牛逼的公务员爱因斯坦的，从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。

在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a^2+b^2=c^2

定义　　在任何一个直角三角形（RT△）中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方 （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。） 

简介　　勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是： 

　　命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。 

　　命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。 

　　命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。 

　　命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。 

　　命题5：等腰三角形两底角相等。 

　　他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 

　　勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 

　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2;+b^2;=c^2；。 

勾股定理指出　　直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 

　　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a²+b²=c²。 

　　勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 

　　中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。 

   

 

推广　　1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 

　　2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。 

   

勾股定理

勾股定理定理　　如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 a²+b²=c²。 

　　即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 

   

古埃及人用这样的方法画直角

　　还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²） 

逆定理　　一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。（称为勾股定理的逆定理） 

勾股定理的来源　　毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。 

   

毕达哥拉斯

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 

勾股定理的别名　　勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 

　　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 

　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 

　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 

有关勾股定理的书籍　　《数学原理》人民教育出版社 

　　《探究勾股定理》同济大学出版社 

　　《优因培教数学》北京大学出版社 

　　《勾股书籍》 新世纪出版社 

　　《九章算术一书》 

　　《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 

　　《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社 

毕达哥拉斯树　　毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 

　英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式。我在这里整理了相关知识，快来学习学习吧!

　物理学上最伟大的十个公式

　No10 圆的周长公式

　创立者：古人

　意义：自然界之美的数学表达。

　这公式贼牛逼了，初中学到现在。目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的-圆周率值，有十几位已经足够了。如果用 35位精度的-圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。

　No9 傅立叶变换

　创立者：让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶

　意义：任何不规则的信号都可以表示为规则的正弦波无限叠加。它是数字信号处理领域的很重要的方法。

　这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机，所以你能在这里上网除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式子。另外傅立叶虽然姓傅，但是法国人。

　让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶

　No8 德布罗意方程组

　创立者：路易·维克多·德布罗意

　意义：德布罗意认为，任何物质既有粒子性，又有波动性，或者说，任何物质也可以看成是一种波，包括人本身。人不但是作为一种物质存在，某种意义上也是一种波。

　这个东西也挺牛逼的，高中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲。简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有 “波长”。于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。

　路易·维克多·德布罗意

　No7 1+1=2

　这个公式不需要名称，不需要翻译，不需要解释。

　No6 薛定谔方程

　创立者：埃尔温·薛定谔

　意义：在量子力学中描述物体的状态不能像经典力学中一样用位移、速度等，而只能用一个物理量的函数来描述，这个物理量也不再是某个确定的值，而是一个随时间分布的概率，每一个微观系统都有相应的薛定谔方程。薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样。

　也是一般人完全不明白的。因此我摘录官方评价：“薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。”由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。

　另外薛定谔虽然姓薛，但是奥地利人。

　埃尔温·薛定谔

　No5 质能方程

　创立者：阿尔伯特·爱因斯坦

　意义：质能方程深刻地揭示了质量与能量之间的关系，在此之前，人们毫无疑问的认为：质量是质量，能量是能量，两者间没有联系。正是质能方程的发现才有原子弹、氢弹的爆炸。这个方程更重要的是彻底地颠覆了人类固有思想，促进人类文明的进步。

　好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。

　这个公式告诉我们，爱因斯坦是牛逼的，能量和质量是可以互换的。

　阿尔伯特·爱因斯坦

　No4 勾股定理/毕达哥拉斯定理

　创立者：毕达哥拉斯(也有认为我国商代就已经出现勾股定理并加以证明)

　意义：勾股定理是用数学方法解决图形问题的典型方法，目前有400多种的证明形式。勾三股四弦五是如此深入每一个地球人的心灵。

　做数学不可能没用到过吧，不多讲了。

　毕达哥拉斯

　No3 牛顿第二定律

　创立者：艾萨克·牛顿

　意义：牛顿第二定律是经典物理学的核心，它适用于我们日常生活的方方面面，它标志着真正物理学研究的开始。没有牛顿，人类文明会在黑暗的世界中度过更长的时间。

　有史以来最伟大的没有之一的科学家在有史以来最伟大没有之一的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的没有之一的核心定律。动力的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。对于学过高中物理的人，没什么好多讲了。

　创立者：艾萨克·牛顿

　No2 欧拉公式

　创立者：莱昂哈德·欧拉

　意义：数学上有许多公式都是欧拉发现的，因此欧拉公式并不是某单一的公式，欧拉公式广泛分布于数学的各个分支中。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

　这个公式是上帝写的么到了最后几名，创造者个个神人。欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域(包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等)最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

　关于e，以前有一个笑话说：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

　这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、pie放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

　高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

　莱昂哈德·欧拉

　No1 麦克斯韦方程组

　创立者：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

　意义：将电场和磁场有机地统一成完整的电磁场。并创立了电磁场理论，而没有电磁学理论，就不会有现在的社会文明。

　任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风——如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。

　詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

　我们不是总喜欢编一些故事，比如爱因斯坦小时候因为某一刺激从而走上了发奋学习、报效祖国的道路么事实上，这个刺激就是你看到的这个方程组。也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本人。

　高考状元谈物理学习方法

勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。文字表述：在任何一个的直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。[1]推广定理：勾股定理的逆定理。

几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。我国也是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。[2]毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理证明，相传是在西周由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。

虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯(大约公元前540年)的名字命名，但有证据表明，该定理的历史可以追溯到毕达哥拉斯之前1000年的古巴比伦的汉谟拉比年代．把该定理名字归于毕达哥拉斯，大概是因为他第一个对自己在学校中所写的证明作了记录．毕达哥拉斯定理的结论和它的证明，遍及于世界的各个大洲、各种文化及各个时期．事实上，这一定理的证明之多，是其他任何发现所无法比拟的。[3]中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》第一章中指出：昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：“窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

青朱出入图(2张)其主要意思是，周公问：”我听说你对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么关于天的高度和地面的一些测量的数据是怎么样得到的呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。”这就是“勾三、股四、弦五”的由来。

《周髀算经》另有记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。

基于上述渊源，中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有着名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常着名。

《周髀算经》

《周髀算经》中关于勾股定理的证明：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。

《周髀算经》证明步骤

“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “

②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “

两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。

注意：

① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。

② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。

③ 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者，句股各自乘之实。共长者，并实之数。

由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。 其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》（即赵爽弦图）——“句股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。”注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。[4]用赵爽弦图证明勾股定理的数学描述为：

ABDE为AB=BD=DE=AE=C的正方形（右图

赵爽弦图 证明示意图

），很显然：正方形ABDE 的面积：=（4个直角三角形的面积）+中间方孔的面积

∵∴（a：勾，b：股，c：弦）

简单来说

a 是3，b 是 4，c不知道。3^2+4^2=3x3+4x4=9+16=25 25就是c的平方，在用根号，那c的长就是5。

《几何原本》

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的概念为：

把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

几何原本 证明示意图

其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须全等于△FBC。

因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = (AB)²。

同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH =(AC)²。

把这两个结果相加， (AB)²+(AC)² = BD×BK + KL×KC

由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此(AB)² + (AC)² =(BC)²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第147节所提出的。[2]3历史发展毕达哥斯拉定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。

毕达哥拉斯实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

古埃及人用这样的方法画直角勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

商高定理商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商 高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

4意义及推广勾股定理是欧氏几何中平面单形——三角形边角关系的重要表现形式，虽然是在直角三角形的情形，但基本不失一般性，因此，欧几里得在《原本》中的第一卷，就以勾股定理为核心展开，一方面奠定欧氏公理体系的架构，另一方面仅仅围绕勾股定理的证明，揭示了面积的自然基础，第一卷共48个命题，以勾股定理（第47个命题）及其逆定理（第48个命题）结束，并在后续第二卷中，自然将勾股定理推广大任意三角形的情形，给出了余弦定理的完整形式。

勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的自然起点，无论在东西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。中国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点，这与欧几里得《原本》第一章的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）及其显现出来的推理和纯理性特点恰好对比的煜煜生辉的两极，令人感慨。

从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。

勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。[5]5生活应用勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：

1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：

第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；

第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；

第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。

屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为15m，高为11m。

2、2005年珠峰高度复测行动。

测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。

通俗来说，就是分三步走：

第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；

第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；

第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面[5]的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。[5]词条图册更多图册

青朱出入图(2张)

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。据说毕达高拉斯发现了这个定后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那麽

a2

+

b2

=

c2

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股数组

满足勾股定理方程a2

+

b2

=

c2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

推广

如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两斜边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

很多人可能知道毕达哥拉斯，因为在学习数学时有个毕达哥拉斯定理，也就是勾股定理。

毕达哥拉斯出生年月约公元前580年~~约前500（490）年，古希腊人。他是一位影响西方乃至全世界的人。主要成就是第一个特别重视“数字”的人，证明了勾股定理，证明了正多面体的个数，创建了毕达哥拉斯学派等。毕达哥拉斯在数学方面极具天赋，并对数学有一种狂热和崇拜，提出过“万物皆数”的理念，认同世间万物均可以用自然数表示，都有数字规律可循，他认为自然中的数要么是整数要么是分数。

还提出了把自然数分为奇数、偶数、素数、平方数等。他不但证明了勾股定理，还推出了黄金分割点公式。毕达哥拉斯的一生很传奇，他对后世的影响可能他自己都没有想到。

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—500)，古代希腊的数学家和哲学家。

毕达哥拉斯是在萨摩斯岛出生的，父亲姆涅萨尔霍斯是宝石雕刻匠。他从小跟父亲学过手艺，爱好数学和音乐。

毕达哥拉斯本人大概没有写过什么著作。他的弟子的著作流传至今的也仅有少数残篇。最早以书面形式叙述他的哲学思想的是苏格拉底的同时代人、他的再传弟子菲洛拉奥斯。但是菲洛拉奥斯的《论自然》一书也只有少数残篇流传到现在。关于毕达哥拉斯本人的生平，我们只有很少的材料。关于他以及他的学派的学说的内容，主要也只能根据柏拉图、亚里斯多德等人的记载。

据说，毕达哥拉斯曾在埃及住过多年，向埃及的祭司学习数学。大约在公元前535年，他移居意大利南部的克罗顿城，原因是他和萨摩斯当权的僭主波吕克拉特斯不和。当毕达哥拉斯到达克罗顿的时候，这个城市商业繁荣，医学闻名。他和他的弟子们在这里建立了一个很有影响的团体。后来因遭到民众的反对，他搬到克罗顿北面不远的麦塔彭杜姆，大约于公元前500年死在那里。

关于毕达哥拉斯的政治立场，学术界有不同的说法。有人认为他代表反动的奴隶主贵族;有人则认为他代表新兴的工商业奴隶主，做了许多促进工商业发展的工作。他在克罗顿及其邻近城市中建立的秘密团体，是一个政治、宗教和学术三位一体的组织。这个组织的成员曾在克罗顿及其邻近地区掌握过政权，他们都要遵守一定的带有神秘色彩的清规戒律，又经常在一起探讨数学、天文等学问。他们的一些规矩是很奇特的，可能来自原始的禁忌观念。例如，不许用刀子拨火，不许坐在斗上，不许吃豆类和动物心脏等等。团体内的人不能随便向没有加入团体的人讲内部的情况。

公元前五世纪下半叶，毕达哥拉斯学派的成员在克罗顿以及意大利南部的一些城邦中遭到迫害，一部分人被杀，另一部分人逃出了意大利。作为一个哲学派别，毕达哥拉斯学派存在到公元前四世纪下半叶。公元二世纪，它以新毕达哥拉斯学派的面目得到复活。毕达哥拉斯的哲学思想对柏拉图以及后来的其他许多哲学家都有巨大影响。

毕达哥拉斯对数学特别是对几何学作了很多研究。他认为数目是数学中的基本元素，把数分为奇数和偶数，并认为前者是有限的，后者是无限的。他提出了无理数的理论以及几何学上的点、线、面和空间的概念。他断定，在平面上以一点为中心可以延展成6个等边三角形，4个直角形和3个正六面体。

他在数学上最突出的成就是关于直角三角形三边关系的定理，即：对边的平方+邻边的平方=斜边的平方。这也就是一般所说的“毕达哥拉斯定理”。

毕达哥拉斯定理即中国古代所称的“勾股定理”。中国古代称两直角边为勾和股，斜边为弦。《周髀算经》曾记载商高回答周公的话，他说：“故折矩以为勾广三，股修四，径偶五。”这是说，如果直角三角形直角旁二边的长是3和4，那末它的斜边必定是5。这个理论比毕达哥拉斯提出得早，但是，书中关于勾方加股方等于弦方的公式没有加以必要的证明。毕达哥拉斯的功绩在于他能用数学逻辑的方法对这个公式给予初步的证明①。

毕达哥拉斯及其学派还发现了关于三角形、多边形、平行线、圆和正多面体的一些定理，发现了平面可为等边三角形、正方形和正六边形所填满，三角形三角之和等于180°这类现象。他们还对面积应用问题作过不少研究。其中最简单的一个问题是求作一多边形，使其面积等于一个已知多边形，但形状与另一已知多边形相似。

毕达哥拉斯也研究过天文学。他认为，宇宙的中心是“中心火”，太阳，月亮，地球，金、木、水、火、土五大行星都环绕“中心火”旋转。它们的运动十分和谐，奏出一种“天体音乐”。关于天体运行的这些猜想中的某些有价值的东西，特别是“中心火”的观念预示了后来地动说的理论。“天体音乐”预示太阳系各行星运行是有规律和有秩序的。

毕达哥拉斯发现了数在音乐中的重要性，指出弦长的比数愈简单则其音愈和谐。据说，他经常留心日常生活中的某些细小事物，用来验证他的“谐音比例”的理论。一天，他经过铁器作坊，铁锤发出的谐音引起了他的注意。他比较了发出谐音的几个铁锤的重量，又在琴弦上进行了试验，发现原来是数量的比例决定音调的和谐。

关于毕达哥拉斯的哲学思想，国内外的哲学家和史学家有不同的评价。多数学者认为，他是反动的奴隶主贵族的思想家，宣传唯心主义、形而上学和“灵魂不死”等神秘主义。

毕达哥拉斯认为，世界万物的本源不是物质，而是一种抽象的、非物质的东西——数。他认为数是在人类认识之前早已存在的东西。他把数说得神乎其神，把“数”叫做“最智慧的东西”，把“和谐”叫做“最美妙的东西”。他认为人世间的万物都是从“数”产生出来的，毁灭后又回到“数”中去，从而认为只有“数”才是永恒不变的东西。毕达哥拉斯学派把数的比例说成是一种命运，是宇宙秩序之源。他们甚至荒唐地用不同的数去比喻各种事物，说什么理智是1，意见是2，正义是4，结婚是5，完全是10。因此，当某些东西实际上不是10时，他们也硬要把它们凑成10。这样，毕达哥拉斯及其门徒把从客观事物中抽象出来的数学中的“数”的概念，加以片面夸大，使它和物质割裂开来，造成了他的唯心论的依据。

他提出了一些矛盾的范畴：有限与无限、一与多、奇数与偶数、左与右、阴与阳、静与动、直与曲、明与暗、善与恶等等。他认为，有限与无限的对立具有特殊的意义。有限是火，无限是空气(“虚空”)，世界就是火与空气的相互作用，对立面不能相互转化。毕达哥拉斯学派从奇偶相生而成数，即一加奇数成偶数，一加偶数成奇数这样的事实出发，强调“和谐”是对立面的“协合”或“和解”。

毕达哥拉斯学派认为，认识世界就是要认识支配世界的数。

他们宣扬灵魂不死，迷信灵魂转世。毕达哥拉斯说：“首先，灵魂是个不朽的东西，它可以转变成别种生物;其次，凡是存在的事物，都要在某种循环里再生，没有什么东西是绝对新的;一切生来具有生命的东西都应该认为是亲属”。他认为，不死的灵魂只是暂时寄居在生物体内，当生物死亡之后，灵魂又转移到另一个生物体中，肉体是灵魂的坟墓。

但是也有的学者持不同意见，认为毕达哥拉斯主张推行民主政治，发展工商业和科学文化，是一位进步的思想家。他们认为毕达哥拉斯所说的数，不是抽象的非物质的，而是不脱离客观事物、可以量度和占有空间的东西，不同于柏拉图纯粹抽象的、脱离客观事物的数。英国的学者梅森在《自然科学史》一书中对毕达哥拉斯学派的哲学思想和自然观做了如下的阐述：“开头他们认为数是由单位点或者质点所形成的几何、物质和算术的实体。他们把这类单位点安排在各种几何图形的角上，称他们为三角形数、平方数等等。这样在毕达哥拉斯派看来，数不但有量的多寡，而且也有几何形状，而且他们就是在这个意义上把数理解为自然物体形式和形象。”因此，梅森把毕达哥拉斯学说当作德谟克利特的“原子论”的理论来源之一。他认为，在毕达哥拉斯关于“数”的质点基础上，“原子论者就放弃了毕达哥拉斯的单位点的数字性质，而去研究单位点的物质性质”，从而形成古代原子论唯物主义。

综上所述，对于毕达哥拉斯的哲学思想需要做出新的评价。我们不能单纯根据他的政治态度来解释他的哲学思想是唯物或唯心的。在他生活的时代，还谈不上唯物主义与唯心主义的鲜明对立，从总体上说，只是已经有了唯物主义与唯心主义分裂的种子。在毕达哥拉斯的学说中，既有一些可宝贵的科学知识，又有一些很错误的东西。出现这种矛盾现象，主要是因为当时生产力和科学发展水平的限制，自然科学与哲学尚未分化成独立的学科，因此毕达哥拉斯还不能科学地解释事物与数的关系，即物质与数的关系。所以，列宁称毕达哥拉斯学派是表现古代“科学思维的萌芽同宗教、神话之类的幻想的一种联系”①。