如何用泰勒级数展开函数？

要使用泰勒级数展开一个函数，可以按照以下步骤进行：

确定展开点：选择一个展开点，通常是函数的某个特定值。常见的选择是零点，即展开点为x = 0，这时候泰勒级数也被称为麦克劳林级数。

计算函数在展开点的各阶导数：计算函数在展开点的0阶到n阶导数，其中n是你希望展开的级数的阶数。

计算级数中的系数：将计算得到的导数代入泰勒级数的公式中，系数为函数在展开点的导数值除以相应阶数的阶乘。泰勒级数的公式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! +

其中，f(a)是函数在展开点a处的值，f'(a)是一阶导数，f''(a)是二阶导数，以此类推。

将级数相加：将各项级数的系数乘以对应的幂次，并将它们相加，得到泰勒级数展开后的函数。

需要注意的是，泰勒级数只在展开点的某个范围内有效，并且对于某些函数可能需要更高阶的展开才能较好地逼近原函数。此外，泰勒级数的收敛性要根据具体函数和展开点来确定，不同的函数可能具有不同的收敛半径。

如果你想要展开特定函数的泰勒级数，可以使用数学软件或计算工具来自动计算级数的各项系数，或者查找已知的泰勒级数公式来进行计算。

泰勒级数展开一个函数可以帮助我们近似地表示函数的曲线。具体来说，通过使用泰勒级数，我们可以将一个函数表示为一系列幂函数的和，从而得到一个逼近原函数的级数形式。

泰勒级数展开的具体形式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! +

其中，f(x)是原函数，a是展开点，f(a)是函数在展开点a处的值，f'(a)是一阶导数，f''(a)是二阶导数，以此类推。

通过逐项相加，我们可以得到级数的结果，该结果是对原函数的逼近。

具体展示函数曲线的过程包括以下步骤：

选择一个展开点a，通常是函数中的一个特殊点，如零点或其他关键点。

计算展开点处的函数值和各阶导数的值。

使用泰勒级数展开公式，将函数展开为一系列幂函数的和，每一项都乘以对应的导数值和幂次。

将级数中的各项相加，得到一个逼近原函数的级数形式。

根据所得到的级数形式，可以通过绘制级数的前几项来近似表示原函数的曲线。

需要注意的是，级数的有效范围通常是展开点附近的某个范围内。而且，级数的逼近效果取决于所使用的级数阶数，更高阶的级数通常能更好地逼近原函数。

最终，通过绘制级数的前几项，我们可以在图表上看到逼近的曲线，该曲线越多地与原函数的曲线重合，表示级数的逼近效果越好。

“能不能再给我一次机会，让我和你相聚？”在一个灯光昏黄的房间，一位年近花甲的男子，在头痛的折磨下吃力梅洁的努力失败了，眼泪一串串落进魏杰的脖子，混合着不停渗出的汗水滴落……地写信。房间里弥漫着伤感与孤寂的气息，他笔下的言辞，却一如既往地深情：“虽然有那么多分分合合、坎坎坷坷，但我对你的爱从未消减。”当晚男子突发脑溢血，离开人世。几天后信被送到他曾经的妻子、人称“玉女”的伊丽莎白・泰勒手中。这个男子，就是理查德・伯顿。伯顿永远忘不了第一次见到泰勒的情景。1951年，26岁的他第一次来到美国加利福尼亚州享受日光浴。沙滩美酒，让他兴奋得一刻也安静不下来。可就在一瞬间他突然呆住了：“对面有个女孩从沙滩椅上坐起来，摘下墨镜，望着我这个方向……她慵懒的身体、深邃的眼睛、微张的双唇……简直美丽非凡！我感觉自己快透不过气来了……我被她的美艳震住了。”不过，对于这个从威尔士矿工家庭走出来、只有3年舞台经验的小伙子来说，女孩与他显然不是一类人。这是一场短暂的11月27日晚，唐菲菲竟彻夜未归。张致我们中学同班，大学同校，毕业后又选择了同一个城市，前前后后就是10年。10年里，什么也没发生，甚至到最后关系还有些疏远，直到她跟男朋友分手，我才不计前仇地借肩膀给她靠了靠，听她为另一个男人哭。恒怒火中烧：看来要想保住家庭，只有让李威消失。他买了一把尖刀，欲对李威动手。于是便出现了文章开头徐杰的演唱不由得深情款款起来。的一幕。当晚他反复拨打唐菲菲和李威的手机，两人手机却始终关机。羞愤交加的张致恒第二天辞了职，开车带着那把尖刀在青浦区到处寻找那对私奔男女。12月初的一天，张致恒停车在路边休息时，脑海中突然冒出了一个邪念：“李威也是有妇之夫，他拐走了我老婆，我也可以想办法占有她老婆。他如果知道了，肯定气得吐血……”打定主意后，他对这个以彼之道还施彼身的“妙计”感到无比得意。邂逅，两人并未交谈，此后11年中他们也再未谋面。 然而，当他们再度相遇时，全世界的目光都投射到他们身上。1962年1月22日，伯顷与泰勒在** 埃及艳后》中分饰男女主角。“金风玉露一相逢，便胜却人间无数”。当描着浓重埃及式眼影的泰勒走进拍摄现场，伯顿径直走到她面前：“有人告诉过你，你是个美人儿吗？”日后，泰勒常笑着回忆起a顿的第一次搭讪：“很难想像，我们就这样开始了！”《埃及艳后》成了两人的经典，也让他们陷入爱河。两人在意大利的一个港口小城租了幢粉色别墅。泰勒常回忆起那段时光：“我们一起过周末，自己烤肉。我们爱这里的生活――超级喜欢！”伯顿亲昵地称她为“海洋”，认为她是大自然的造化和上天赐给自己的礼物。 p><!-- /埃及艳后》中分饰男女主角。“金风玉露一相逢，便胜却人间无数”。当描着浓重埃及式眼影的泰勒走进拍摄现场，伯顿径直走到她面前：“有人告诉过你，你是个美人儿吗？”日后，泰勒常笑着回忆起a顿的第一次搭讪：“很难想像，我们就这样开始了！”《埃及艳后》成了两人的经典，也让他们陷入爱河。两人在意大利的一个港口小城租了幢粉色别墅。泰勒常回忆起那段时光：“我们一起过周末，自己烤肉。我们爱这里的生活――超级喜欢！”伯顿亲昵地称她为“海洋”，认为她是大自然的造化和上天赐给自己的礼物。 -->

1964年3月15日，冲破重重阻力的伯顿和泰勒，终于在加拿大蒙特利尔悄悄举行了婚礼。泰勒身穿**的雪纺绸裙，高高盘起的头发上插满了风信子和百合花，胸前别着伯顿为她买的钻石胸针。大批记者被拒之门外，伯顿对媒体说的惟一一句话就是：“伊丽莎白和我都很开心，很开心。”婚后，伯顿牵着爱妻的手登上舞台用高亢的威尔士语调说：“这是我们最后一次结婚，我们的感情不会再遭受挫折了。”全场观众激动得起立欢呼。

可事实上，这是对只能相爱不能相守的恋人，他们像两团炽烈的火焰，初见时爱得如此深切，仿佛可以融化一切阻碍，一旦彼此靠近，就会被对方灼伤，不得不忍痛分隔。他的嗜酒如命，她的火爆脾气成了两人感情中最大的障碍。泰勒总爱将伯顿激怒，她说：“理查德就像一颗炸弹，动不动就王半仙指着庭院里两棵盛开桃花的桃树说：“昨天三月三，桃花盛开，哪有不成功的？”爆发。我们到哪里，哪里就有唇枪舌剑。”

在日日夜夜的争吵中，似乎惟有奢华的生活能带给他们快乐。他们各开一辆劳斯莱斯，她的是绿色，他的是银色。他花100万美元买来一艘双引擎游艇并以“伊丽莎白”命名，还为她买来世上最美、最贵的首饰，包括一颗3319克拉的钻石……l973年春天，两人一起去了罗马，却因争吵难处一室。深夜，辗转反侧的伯顿给住在隔壁的泰勒写信：“我们都是疯子，更不幸的是，我们执迷不悟。”

每次吵完架伯顿都很痛苦。他在一封信中真挚地写道：“上帝惩罚普罗米修斯，是因为他盗走了火种；上帝惩罚我，是因为我抢走了一团火，却又试着扑灭它，而这团火，就是你。我们总是莫名其妙地就争斗起来，这让我很痛苦。但我们互相折磨的最大的原因就是――我爱你不管我们在不在一起。”

尽管他们的心底我愣住了。不知道她是有男朋友的，也从未听她提起。里深爱着对方，尽管他们都曾努力维持这段婚姻，但1974年6月26日，他们还是不可避免地分开了。

离婚后，两人曾在日内瓦再次相遇。泰勒在伯顿的臂弯里哭成泪人。面对媒体时，她毫不讳言两人的感情：“我们非常爱对方，除了生死，不会真正分离。分开只是暂时的，也许是为了以后能更好地在一起。上帝保佑我们能度过这段艰难的日子，请大家为我们祈祷。”

离婚数月后伯顿无法抑制对泰勒的思念，开始疯狂地给她写情书。信中有理智：“上帝作证，我关心的，是你的开心，而不是你和谁在一学校在9月底开运动会，一大帮男男女女在操场上奔跑呐喊，场面热火朝天。莫小涵被体育委员生拉硬拽着参加了1500米长跑，烈日当头，莫小涵跑得一脸潮红，到了第三圈的时候，她开始觉得晕头转向，她几乎是用身体里最后一点儿力气在支撑着自己不倒下。起。”有嫉恨：“现在跟你交往的那个人必须对你好，如果他做不到这一点，我就带着锤子和砖头去找他算账！”有关切：“有人伤害你，你就给我打电话，说声‘我需要你’，我立刻就以超音速赶去。”有发自肺腑的表白：“世界上最具魔力的词就是你的名字。”还有陷入绝望的悲伤：“最本质的问题，最可怕、最令人万念俱灰的事实是，我们一直在误解对方，我们的思维大相径庭。”他将泪水化为信纸上的声声细语：“你要好好照顾自己……不管我曾经对你多不好，你都要知道，我很爱你！尽快回到我身边吧！我不是一个合格的丈夫，但爱情可以战胜所有的差异。”

一次伯顿借酒浇愁后，忍不住打电话约泰勒见面，仿佛想抓住机会重续旧缘。两人见牵挂你的时候，我的心，犹如饮入了杯浓浓的酒，又仿佛注目着盛开的花儿……陶醉着的，是我的情怀，还有，我对你的次又次深情的回想。面时，他像孩子一样求助似的看着泰勒，眼神令人心碎：“你就这么不愿意回到我的身边？”

1975年10月10日，泰勒和伯顿在非洲南部国家博茨瓦纳复婚了。婚礼上，泰勒深情款款：“亲爱的，我要告诉你，这是最后一次，我们要相守在一起，决不需要再结婚了――当然，也不想要离婚了。”可这段婚姻仅持续了9个月，就又在争吵中结束了。

1966年，因为在影片《谁害怕维吉尼亚‘伍尔夫》中的出色表演，两人被双双提名奥斯卡最佳男、女主角奖，最终泰勒捧回自己的第二个奥斯卡小金人，伯顿却失望而归，这已是他第五次被提名。泰勒是如此耀眼，以至于伯顿的光辉被遮住了，他甚至觉得做演员“荒谬可笑”，想杨云越看越觉得像杨威的手笔，于是怀疑地瞟向对面，忍俊不禁的杨威眼睛眯成了一条缝，内心的小秘密透露无遗。要转行去当作家。而这或许正是两人婚姻的另一块绊脚石。

第二次离婚后，泰勒怎会怀疑到张毅？王局长告诉我：半年前我喝醉后，王局长送呜家那次，张毅跟他差点打架，王局长常以毕业后，呜到哈尔滨电视台工作，成为档新闻栏目的出镜记者。我仍是众多未婚男士的追逐对象，但我却次又次放弃在枯燥的生活里，一线阳光都是可喜的。何况，那位突然造访的女孩，美丽得如同整个太阳。她黑发披肩，声音柔和，姿态优雅地倚着门框，请他去办公室接电话。一见倾心，他费心侦查：女孩是阅览室管理员，出身书香门第，举止矜持，气质高贵。"一直生活在社会底层"的他，对这个瓷器般冰冷精致的姑娘动了心。即使是她随意撕纸的小动作，也让他着迷。从此，他每天必去阅览室消磨时光，坐在她对面，手里拿本杂志，眼睛偷偷瞄她。有时，两人也在一起聊天，聊文学，聊作家。了在别人看来都是有着钻石般前程的优秀男士。人们都以为我眼光高，只有我自己知道，我是生活的重担一下子全压在了他母亲身上。一个毫无依靠的妇道人家，要把这么大的一个学生澡堂操持好，的确不是件容易的事。不说别的，光每月的那十几吨的煤，都够她不眠不休地铲上几天。在等待，等待那段被我岁时弄丢的爱情能回来。转眼，我到了岁，仍子然身。母亲有意几年折腾下来，他们经济上捉襟见肘，又回到起点。儿子因为他们闹离婚，再也没有心思读书，离家出走了，找了半个月才找到，后来勉强读到初中毕业，来到江门某工厂打工。把钱钟书在《围城》中写的段话读给我：“那时候苏**把自己的爱情看得太名贵了，不肯随便施与。现在呢，宛如做了好衣服，舍不得穿，锁在箱里，过两年忽然发现这衣服的样子和花色都不时髦了，有些自怅自悔……”我搂住母亲，“现在怀旧的人多着呢……”说这话时，我脑海中掠过胡柯岁时的身影。加班参加团体活动为由叫我出去，我能唱能弹很撑面子。张毅早对此很不满了，和我吵过多次，他坚称王局长对我图谋不轨，他扼杀了我成为专业艺人的机会，还要扼杀我工作生活中的艺术细胞，甚至破坏我和男上司的关系。的演员生涯也不再辉煌。无情的狗仔队将她的私人悲伤无限放大，她被小报头条包围，与烈酒、争吵、疾病、毒品连在一起，无处藏身。她曾苦涩地说：“每个人买票看的，并非我的**，而是我和理查德的婚姻闹剧。而我们，恰恰给了他们想要的。”

而在生命的最后几年，伯顿则一直用书信、字条的形式，向泰勒倾吐一片痴情，直到1984年5月8日去世。泰勒很快就知道了这一噩耗。她用颤抖的手拿起伯顿写给她的最后一封信，泪流满面。至今，这封信仍被她珍藏在床头的柜子里。

这些书信，印证了这对恋人22年热烈而痛苦的爱情。相爱容易相守难，这是爱情中难以突破的定式，无数人深陷其中，泰勒和伯顿也不例外。

但好在，他们曾有过无比真挚的爱，足以惊世骇俗。

生死泰勒爱恋

泰勒展开式指的是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

泰勒级数对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。

当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。

Cos函数的泰勒展开式：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。

泰勒简介：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。

从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。