请问交错级数的莱布尼茨定理有什么用处呢？

交错级数莱布尼茨定理指的是：交错级数是正项和负项交替出现的级数，在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛。

由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计，最典型的交错级数是交错调和级数；若级数的各项符号正负相间，叫作交错级数。交错级数的项就是正负相间。

交错级数的审敛法莱布尼茨定理也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则，不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数。

交错级数的莱布尼茨定理余项Rn指的是什么？

莱布尼茨定理仅仅给出了判断交错级数收敛的充分条件，却没有给出判断交错级数发散的条件；同时，如果交错级数满足该定理的条件，也无法判断级数是绝对收敛还是条件收敛。

如果交错级数

满足莱布尼茨判别法的两个条件，则该级数的余项估计式为：

一、少年时光：

1642年的圣诞节前夜，在英格兰林肯郡沃尔斯索浦的一个农民家庭里，牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿，出生时只有3磅重。接生婆和他的双亲都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且活到了竟活到了85岁的高龄。

牛顿出生前三个月父亲便去世了。在他两岁时，母亲改嫁。从此牛顿便由外祖母抚养。11岁时，母亲的后夫去世，牛顿才回到了母亲身边。大约从5岁开始，牛顿被送到公立学校读书，12岁时进入中学。

少年时的牛顿并不是神童，他资质平常，成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。

药剂师的房子附近正建造风车，小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己也制造了一架小风车。推动他的风车转动的，不是风，而是动物。他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不断的跑动，于是轮子不停的转动。他还制造了一个小水钟。每天早晨，小水种会自动滴水到他的脸上，催他起床。

后来，迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农。但牛顿对务农并不感兴趣，一有机会便埋首书卷。每次，母亲叫他同她的佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书。

有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去，他发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题。牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学。牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲取着书本上的营养。

二、求学岁月

牛顿19岁时进入剑桥大学，成为三一学院的减费生，靠为学院做杂务的收入支付学费。在这里，牛顿开始接触到大量自然科学著作，经常参加学院举办的各类讲座，包括地理、物理、天文和数学。牛顿的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学多才的学者。

这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。于是将自己的数学知识，包括计算曲线图形面积的方法，全部传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。后来，牛顿在回忆时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。”

当时，牛顿在数学上很大程度是依靠自学。他学习了欧几里德的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿——解析几何与微积分。1664年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年，剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

正当牛顿准备留校继续深造时，严重的鼠疫席卷了英国，剑桥大学因此而关闭，牛顿离校返乡。家乡安静的环境使得他的思想展翅飞翔，以整个宇宙作为其藩篱。这短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，他的三大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想就是在这时孕育成形的。可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。

随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。

三、晚年时光：

晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长，在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会。没有他的同意，任何人都不能被选举。

晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。

1727年3月20日，伟大艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着： 让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上存在。

四、趣闻轶事一

1667年复活节后不久，牛顿返回到剑桥大学，10月被选为三一学院初级院委，翌年获得硕士学位，同时成为高级院委。1669年，巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职，26岁的牛顿晋升为数学教授。巴罗让贤，在科学史上一直被传为佳话。

牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分时，学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力，他却远远超过了常人。还是学生时，牛顿就发现了一种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法，算出了双曲面积到二百五十位数。

他曾经高价买下了一个棱镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分解为的有颜色的光。开始，他并不愿意发表他的观察所得，他的发现都只是一种个人的消遣，为的是使自己在寂静的书斋中解闷。他独自遨游于自己所创造的超级世界里。后来，在好友哈雷的竭力劝说下，才勉强同意出版他的手稿，才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。

五、趣闻轶事二、

作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往领带不结，袜带不系好，马裤也不纽扣，就走进了大学餐厅。有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。他抓住姑娘的手指，错误的把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去。牛顿也因此终生未娶。

牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事，结果作出了科学史上一个个重要的发现。他马虎拖沓，曾经闹过许多的笑话。一次，他边读书，边煮鸡蛋，等他揭开锅想吃鸡蛋时，却发现锅里是一只怀表。

还有一次，他请朋友吃饭，当饭菜准备好时，牛顿突然想到一个问题，便独自进了内室，朋友等了他好久还是不见他出来，于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了，鸡骨头留在盘子，不告而别了。等牛顿想起，出来后，发现了盘子里的骨头，以为自己已经吃过了，便转身又进了内室，继续研究他的问题。

an=(-1)^(n+1)/n

1

an 交错没有问题，

2

|an|=1/n 严格递减没有问题，

3

|an|=1/n 趋近于 0 没有问题，

根据莱布尼茨定理原级数收敛，

绝对值级数是发散的，

但是原级数是收敛的，不是发散的，

莱布尼茨定理中的交错：只要求正负项交错，可以是正负正负正负……也可以是负数正数负数正数……还可以撇开前面任意多有限项来讨论交错问题，