代数几何（一）

背景

凯莱和克莱因的工作连接了非欧几何、黎曼微分几何和射影几何，代数方法广泛应用于射影几何后，人们开始寻求几何图形有哪些性质与坐标表示无关，这个问题也促成了对代数不变量的研究。

几何图形射影性质就是图形在线性变换下不变的那些性质，有时也考虑高次变换，研究在这些变换下曲线和曲面有哪些性质不变。不久数学家就从线性变换转到高次变换，称之为双有理变换：因为这些变换的代数表达式是坐标的有理函数，其逆变换也是坐标的有理函数。数学家集中研究双有理变换，是因为黎曼曾用它们研究阿贝尔积分和阿贝尔函数，研究曲线双有理变换的第一个重要进展就是由黎曼的工作引发的。这两个主题是19世纪后半叶代数几何的主要内容。

代数几何原先是指从费马到笛卡尔时代起所有把代数用于几何的研究工作，在19世纪后半叶把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何，到20世纪，代数几何指的就是后一领域。

先打一点代数不变量

通过坐标表示来确定要表示、研究的图形的几何性质，需要识别在坐标变换下保持不变的那些代数表达式。此外，用线性变换把一个图形变到另一个的射影变换使图形某些性质保持不变，代数不变量代表这些不变的几何性质。

代数不变量的问题产生于数论，特别在研究二元二次型 在x与y用线性变换T变换时是如何变换的，T即x=αx'+βy',y=γx'+δy'，其中αδ-βγ=r，得到 ，在数论中系数都是整数，且r=1，但一般而言f的判别式D满足关系式 。

射影几何的线性变换更为一般，因为二次型和变换系数不限于整数，代数不变量一词是指在这更一般的线性变换下产生的不变量，区别于数论中的模不变量和黎曼几何的微分不变量。

证明：如图，

将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，

∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，

又∵∠ADC=60°，

∴∠BDE=60°，

∴△DBE为等边三角形，

∴DB=BE，

又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE

=360°-∠BCD-∠A

=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）

=60°+30°

=90°，

∴△ECB为直角三角形，

∴EC2+BC2=BE2，

∴BD2=AB2+BC2．

代数几何是现代数学的一个重要分支学科，代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。

代数几何的基本研究对象是在任意维数的空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。这样的集合通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组，代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。

代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。

1 F坐标为（0,3∕x） B点坐标为（0,3）然后求出BF长度的代数式，于OA长3∕x相比，正好约去，为定值。

2 过P向y轴作垂线，交与H，然后证三角形ABO 与三角形BPH全等 即P点坐标为（3,3+3∕x）F点坐标为（0，3∕x）于是就用勾股定理算出三角形PFH的斜边长PF为定值。（即函数中的几何要想到用代数方法做）