二次函数一元二次方程 知识点

一、二次函数解析式的几种形式：

1一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0)。

2顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)。

3两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0。

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点。(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2)；

二、二次函数抛物线性质

1抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2抛物线有一个顶点P，坐标为

P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

三、一元二次方程的一般形式

ax^2+bx+c=0，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做ax^2二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

　　3、一元二次方程的解法

　　①、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

　　②、配方法

　　配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

　　③、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程的求根公式：④、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　4、一元二次方程根的判别式

　　根的判别式

　　一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用来表示，即

　　①方程有两个不相等的实数根．

　　②方程有两个相等的实数根．

　　③方程无实数根．

　　④方程有两个实数根。反之：①一元二次方程有两个不等实根

　　②一元二次方程有两个相等实根

　　③一元二次方程无实根

　　④一元二次方程有两个实根

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

(1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2=

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般

形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式

法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程

是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方

法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

例5．用适当的方法解下列方程。(选学）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差

公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

（3）化成一般形式后利用公式法解。

（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我

们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可变形为

x2+px=-q (常数项移到方程右边)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

(x+)2= (配方)

当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。

说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母

取值的要求，必要时进行分类讨论。

练习：

（一）用适当的方法解下列方程：

1 6x2-x-2=0 2 (x+5)(x-5)=3

3 x2-x=0 4 x2-4x+4=0

5 3x2+1=2x 6 (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列关于x的方程

1x2-ax+-b2=0 2 x2-( + )ax+ a2=0

练习参考答案：

（一）1x1=- ,x2= 2x1=2,x2=-2

3x1=0,x2= 4x1=x2=2 5x1=x2=

6解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a• a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

测试

选择题

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、无实根

7． 方程2x2-015=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=027, x2=-027 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不对

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案与解析

答案：1C 2C 3B 4D 5A 6D 7D 8C 9D

解析：

1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,

注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。

2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7

3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1

时，方程成立，则必有根为x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，

则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0

另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！

5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,

则(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。

7．分析：2x2=015

x2=

x=±

注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。

8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理为：(x-)2=

方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1

则(x-1)2=m+1

中考解析

考题评析

1．（甘肃省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确

选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元

二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为

C。

另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（辽宁省）方程的根为（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、

B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。

评析：k=4将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。

5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方

根，即可选出答案。

课外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二

次的整式方程。 一般形式为

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次

方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中

之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公

式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种

不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次

给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的

数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学

家还在方程的研究中应用了内插法。

对于一元二次方程，他的一般形式为ax^2+bx+c=0

1、直接开方法

对于x^2=C这样的方程，当c>=0的时候，方程的解为x=正负根号c

2、十字相乘法

将原方程因式分解得到a(x-x1)(x-x2)=0，此时方程的两个解就是x1,x2

3、公式法

当你没办法的时候，直接把方程各个系数带入如下公式

x=[-b加减根号(b^2-4ac)]/2a

可以算出通解

以上^2表示平方

一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将其化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法

形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±√p。如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p，进而得出方程的根。

2、配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。

3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

成立条件

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

2、只含有一个未知数。

3、未知数项的最高次数是2。

解：因为 x^2 +9=0,

则 Δ =0^2 -419 = -36<0

所以 x1 = [ -0 + i √(-Δ) ] / (21)

= 3i,

x2 = [ -0 - i √(-Δ) ] / (21)

= -3i

= = = = = = = = =

百度一下：

一元二次方程求根公式

若 Δ<0,

则 x = [ -b ± i √ (-Δ) ] /(2a)

复数根的求根公式如下：

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。一元二次方程的形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。折叠变形式：ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0); ax²+c=0(a、c是实数，a≠0); ax²=0(a是实数，a≠0)。

复数根的求根公式为ax^2+bx+c=0，复数根即虚根，顾名思义就是解方程后得到的是虚数，虚数是为了满足负数的平方根而产生的，规定根号-1为i。

而虚根一般只在二次或更高次的方程中出现，如果一个实系数整式方程有虚根，则其共轭复数也是所给方程的根(共轭根)，实现系数二次方程具有虚根的必要充分条件是b^2-4ac<0。

一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

一元二次方程成立的条件：

1、等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，这个方程不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，也不是一元二次方程。

2、只含有一个未知数。

3、未知数项的最高次数是2。

设一个二元一次方程为：ax^2+bx+c=0,其中a不为0，因为要满足此方程为二元一次方程所以a不能等于0

求根公式为：x1=（-b+（b^2-4ac)^1/2）/2a ,x2=（-b-（b^2-4ac)^1/2）/2a 

扩展资料

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。 

参考资料-韦达定理