一元二次方程的解

一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将其化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法

形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±√p。如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p，进而得出方程的根。

2、配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。

3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

成立条件

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

2、只含有一个未知数。

3、未知数项的最高次数是2。

解：因为 x^2 +9=0,

则 Δ =0^2 -419 = -36<0

所以 x1 = [ -0 + i √(-Δ) ] / (21)

= 3i,

x2 = [ -0 - i √(-Δ) ] / (21)

= -3i

= = = = = = = = =

百度一下：

一元二次方程求根公式

若 Δ<0,

则 x = [ -b ± i √ (-Δ) ] /(2a)

复数根的求根公式如下：

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。一元二次方程的形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。折叠变形式：ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0); ax²+c=0(a、c是实数，a≠0); ax²=0(a是实数，a≠0)。

复数根的求根公式为ax^2+bx+c=0，复数根即虚根，顾名思义就是解方程后得到的是虚数，虚数是为了满足负数的平方根而产生的，规定根号-1为i。

而虚根一般只在二次或更高次的方程中出现，如果一个实系数整式方程有虚根，则其共轭复数也是所给方程的根(共轭根)，实现系数二次方程具有虚根的必要充分条件是b^2-4ac<0。

一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

一元二次方程成立的条件：

1、等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，这个方程不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，也不是一元二次方程。

2、只含有一个未知数。

3、未知数项的最高次数是2。

一、二次函数解析式的几种形式：

1一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0)。

2顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)。

3两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0。

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点。(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2)；

二、二次函数抛物线性质

1抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2抛物线有一个顶点P，坐标为

P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

三、一元二次方程的一般形式

ax^2+bx+c=0，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做ax^2二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

　　3、一元二次方程的解法

　　①、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

　　②、配方法

　　配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

　　③、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程的求根公式：④、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　4、一元二次方程根的判别式

　　根的判别式

　　一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用来表示，即

　　①方程有两个不相等的实数根．

　　②方程有两个相等的实数根．

　　③方程无实数根．

　　④方程有两个实数根。反之：①一元二次方程有两个不等实根

　　②一元二次方程有两个相等实根

　　③一元二次方程无实根

　　④一元二次方程有两个实根