转动惯量的计算公式

当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴是圆柱体轴线时 ；

其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

当回转轴通过环心且与环面垂直时， ；

当回转轴通过环边缘且与环面垂直时， ；

沿环的某一直径，；

R为其半径。 当回转轴通过中心与盘面垂直时， ；

当回转轴通过边缘与盘面垂直时， ；

R为其半径。 当回转轴为对称轴时， 。

（注意这里是加号不是减号 ，容易记错。可以代入 的极端情况进行验证，此时圆柱退化为柱面。）

R1和R2分别为其内外半径。 当回转轴为中心轴时， ；

当回转轴为球壳的切线时， ；

R为球壳半径。 当回转轴为球体的中心轴时， ；

当回转轴为球体的切线时， ；

R为球体半径。 当回转轴为其中心轴时， ；

当回转轴为其棱边时， ；

当回转轴为其体对角线时， ；

L为立方体边长。 当回转轴为其中心轴时 ，式中l1和l2是与转轴垂直的长方形的两条边长。

例题

已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在01秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？

分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr²L

根据在01秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=（2π×500rad/min）/01s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr²/2。

所以M=Jβ

=（mr²/2）（△ω/△t）

=ρπr^2hr²/2△ω/△t

=78×10³ ×314× 004²×05×004²/2 ×500×2π/60/01

=8203145

单位kg·m²/s²=N·m

不对称转动惯量计算公式与对称转动惯量计算公式不同，其主要是考虑物体在竖直方向上的转动惯量不等的情况。一般情况下，不对称转动惯量计算公式都会比较复杂，需要根据不同物体的几何形状及旋转轴的位置进行推导。但是有一些常见的不对称物体可以通过一些简单的公式来计算，例如一个薄杆的不对称转动惯量可以通过公式I=1/3ml^2 (1/12)m(2h)^2来计算。

球体转动惯量公式推导：可以借用球壳或者薄圆板的结果求解。

比如借用薄圆板的结果求解：I=∫1/2r^2dm=∫(-R，R)1/2(R^2-x^2)ρπ(R^2-x^2)dx=1/2m/(4/3πR^3)π16/15R^5=2/5mR^2。

如借用球壳的结果求解，计算更简单：I=∫2/3r^2dm=∫(0，R)2/3r^2ρ4πr^2dr=2/3m/(4/3πR^3)4π1/5R^5=2/5mR^2。

质量转动惯量

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

转动惯量j的值与转轴的选取有关，

一般情况下选取系统的质心为转轴位置，此时记转动惯量为jc；

jc=∫

r^2

dm

如果转轴不在质心处，则有公式：j=jc+md^2

这里的d是质心到转轴的位置，m是系统的总质量