高数转动惯量计算公式

思路：最基本的物理公式：转动惯量I

I=∫ rdm

然后再看题目的具体要求,看看是重积分,曲线积分还是曲面积分

先说下dm：

①重积分：二重积分dm=ρdσ,三重积分dm=ρdV；

②曲线积分：dm=ρds；

③曲面积分：dm=ρdS；

ρ：题目如果没具体说明或是均匀或只给个常数\代数,那么ρ就是个常数；如果给了ρ的方程,代入就好了

r：表示与的距离,比如说,在三维空间：

与x轴距离：那么公式中r=y+z

与原点距离：那么公式中r=x+y+z

与平面yOz距离：那么公式中r=x

在二维平面：

与x轴距离：那么公式中r=y

与原点距离：那么公式中r=x+y

等等 扩展资料 ^^^ds=（x2-x1）dy

dm=ρds=ρ（x2-x1）dy

dJ=y^2dm=ρ（x2-x1）y^2dy=2ρ√[1-(y/2)^2]y^2dy

令y/2=sinθ

则有：

dJ=8ρ∫cosθsinθ^2d（2sinθ）

=-16ρ∫cosθ^2sinθ^2dθ

=-16ρ∫(sin2θ/2)^2d（θ）

=2ρ∫(1-cos4θ)dθ

求积分区间，当x=0时，y=+/-2，则由：sinθ=+/-1，θ=+/-π/2

J=ρ(2π-0)/2 -ρ(-2π-0)/2 =2πρ

先看中空薄圆板对中心垂直轴的转动惯量

面积元dS

dS=rdrdθ

dm=mdS/π(R2²-R1²)=[m/π(R2²-R1²)]rdrdθ

则  J=∫dm r²=[m/π(R2²-R1²)]∫dθ∫r³dr

θ的积分区间 0--->2π,  r积分区间 R1--->R2

代入积分上下限 积分可得 ：J =[2m/(R2²-R1²)][(R2^4-R1^4)/4]=m(R2²+R1²)/2

圆筒可以看成很多个这样的圆板 同轴 并在一起，所以 圆筒的转动惯量等于 所有圆板的转动惯量的总和，即  J=M(R2²+R1²)/2

扩展资料：

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

-转动惯量

当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴是圆柱体轴线时 ；

其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

当回转轴通过环心且与环面垂直时， ；

当回转轴通过环边缘且与环面垂直时， ；

沿环的某一直径，；

R为其半径。 当回转轴通过中心与盘面垂直时， ；

当回转轴通过边缘与盘面垂直时， ；

R为其半径。 当回转轴为对称轴时， 。

（注意这里是加号不是减号 ，容易记错。可以代入 的极端情况进行验证，此时圆柱退化为柱面。）

R1和R2分别为其内外半径。 当回转轴为中心轴时， ；

当回转轴为球壳的切线时， ；

R为球壳半径。 当回转轴为球体的中心轴时， ；

当回转轴为球体的切线时， ；

R为球体半径。 当回转轴为其中心轴时， ；

当回转轴为其棱边时， ；

当回转轴为其体对角线时， ；

L为立方体边长。 当回转轴为其中心轴时 ，式中l1和l2是与转轴垂直的长方形的两条边长。

例题

已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在01秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？

分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr²L

根据在01秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=（2π×500rad/min）/01s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr²/2。

所以M=Jβ

=（mr²/2）（△ω/△t）

=ρπr^2hr²/2△ω/△t

=78×10³ ×314× 004²×05×004²/2 ×500×2π/60/01

=8203145

单位kg·m²/s²=N·m

转动惯量j的值与转轴的选取有关，

一般情况下选取系统的质心为转轴位置，此时记转动惯量为jc；

jc=∫

r^2

dm

如果转轴不在质心处，则有公式：j=jc+md^2

这里的d是质心到转轴的位置，m是系统的总质量

不同的机械结构计算的方法都是不同的。最常见的就是圆盘结构，J=1/8WDD(kg`mm) W是质量，D是外径，还有其他的我就不一个个写了。电机有标注出来惯量，您算出来的比电机实际的小就好了。