转动惯量和角速度公式

转动惯量和角速度公式：M=Ja。转动惯量与转动角速度没有直接关系。转动惯量和角加速度可以用转动定律联系起来，M=Ja，力矩等于转动惯量乘以角加速度。然后，角加速度对时间积分可以求出角速度。

转动惯量(MomentofInertia)，是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量与角动量公式是L=Iω，其中I是转动惯量，ω（欧米伽）是角速度，L则是角动量，其中ω是矢量，当质点作逆时针旋转时，ω向上，作顺时针旋转时，ω向下。

转动惯量是刚体绕轴转动时惯性的量度，用字母I或J表示，在经典力学中，转动惯量又称质量惯性矩，简称惯矩，对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

F=ma M/r=mdv/dt v=rw dw/dt=a

我的意思是说 知道前面的公式 可以自己变形出转动惯量的表达式 M=Ja 即转动惯量是牛顿第二定律推出的 便于理解记忆

当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴过杆的端点并垂直于杆时 ；

其中m是杆的质量，L是杆的长度。

当回转轴是圆柱体轴线时 ；

其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

当回转轴通过环心且与环面垂直时， ；

当回转轴通过环边缘且与环面垂直时， ；

沿环的某一直径，；

R为其半径。 当回转轴通过中心与盘面垂直时， ；

当回转轴通过边缘与盘面垂直时， ；

R为其半径。 当回转轴为对称轴时， 。

（注意这里是加号不是减号 ，容易记错。可以代入 的极端情况进行验证，此时圆柱退化为柱面。）

R1和R2分别为其内外半径。 当回转轴为中心轴时， ；

当回转轴为球壳的切线时， ；

R为球壳半径。 当回转轴为球体的中心轴时， ；

当回转轴为球体的切线时， ；

R为球体半径。 当回转轴为其中心轴时， ；

当回转轴为其棱边时， ；

当回转轴为其体对角线时， ；

L为立方体边长。 当回转轴为其中心轴时 ，式中l1和l2是与转轴垂直的长方形的两条边长。

例题

已知：一个直径是80的轴，长度为500，材料是钢材。计算一下，当在01秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩？

分析：知道轴的直径和长度，以及材料，我们可以查到钢材的密度，进而计算出这个轴的质量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr²L

根据在01秒达到500转/分的角速度，我们可以算出轴的角加速度β=△ω/△t=（2π×500rad/min）/01s

电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线，所以J=mr²/2。

所以M=Jβ

=（mr²/2）（△ω/△t）

=ρπr^2hr²/2△ω/△t

=78×10³ ×314× 004²×05×004²/2 ×500×2π/60/01

=8203145

单位kg·m²/s²=N·m

对于一个质点的转动惯量的定义是：I

=

mR^2

但对于一个质量均匀的刚体，则有：

I

=

∫r^2

dm

注：积分限为

r

从

0

到

R

=∫r^2

ρ

(2πr)dr

注：ρ

为面质量密度，ρ=m/(πR^2)

=2πρ∫r^3dr

=2πρ

1/4

(R^4

-

0^4)

=1/2

(πρR^2)

R^2

=1/2

mR^2

球体转动惯量公式推导：可以借用球壳或者薄圆板的结果求解。

比如借用薄圆板的结果求解：I=∫1/2r^2dm=∫(-R，R)1/2(R^2-x^2)ρπ(R^2-x^2)dx=1/2m/(4/3πR^3)π16/15R^5=2/5mR^2。

如借用球壳的结果求解，计算更简单：I=∫2/3r^2dm=∫(0，R)2/3r^2ρ4πr^2dr=2/3m/(4/3πR^3)4π1/5R^5=2/5mR^2。

质量转动惯量

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

转动惯量j的值与转轴的选取有关，

一般情况下选取系统的质心为转轴位置，此时记转动惯量为jc；

jc=∫

r^2

dm

如果转轴不在质心处，则有公式：j=jc+md^2

这里的d是质心到转轴的位置，m是系统的总质量