转动惯量怎么公式推导关于大学物理

设刚体中第i个质点的质量为△mi，该质点离轴的垂直距离为ri，则转动惯量为：

J=∑ri2△mi,

即刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。

刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写为积分形式：

J=∫r2dm，

积分式中dm是质元的质量，r是此质元到转轴的距离。

比如圆柱体的转动惯量其实就可以看作是一个圆盘的转动惯量

在距离盘心r处取一宽为dr的圆环，它的质量dm=m/(pir^2) 2pirdr

然后代入 J=∫r^2dm 从0到r积分，得到J=1/2mr^2

球体转动惯量公式推导：可以借用球壳或者薄圆板的结果求解。

比如借用薄圆板的结果求解：I=∫1/2r^2dm=∫(-R，R)1/2(R^2-x^2)ρπ(R^2-x^2)dx=1/2m/(4/3πR^3)π16/15R^5=2/5mR^2。

如借用球壳的结果求解，计算更简单：I=∫2/3r^2dm=∫(0，R)2/3r^2ρ4πr^2dr=2/3m/(4/3πR^3)4π1/5R^5=2/5mR^2。

质量转动惯量

其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

转动惯量j的值与转轴的选取有关，

一般情况下选取系统的质心为转轴位置，此时记转动惯量为jc；

jc=∫

r^2

dm

如果转轴不在质心处，则有公式：j=jc+md^2

这里的d是质心到转轴的位置，m是系统的总质量

解：薄板的面密度ρ=m/S=m/(1/2πR²)=2m/(πR²)。

质量元dm=ρ(rdθdr)，

由质量连续分布刚体转动惯量公式J=∫r²dm，

而质量元与转轴的距离为rsinθ，

所以J=∫r²dm=∫(rsinθ)²ρ(rdθdr)

=∫(0,R)ρr³dr∫(0,π)(sinθ)²dθ

=1/8ρπR⁴

=(mR²)/4

即转动惯量为(mR²)/4。

例如：

由正交轴定理：Iz=Ix+Iy,I表示转动惯量。

Ix=(1/12)ma^2

Iy=(1/12)mb^2

Iz=(1/12)m(a^2+b^2)

正交轴定理的证明如下：

Iz=∫ρ(x²+y²)dv;Ix=∫ρ(y²+z²)dv;Iy=∫ρ(x²+z²)dv

又因为，平板上，z≡0

所以，Ix,Iy化简为：Ix=∫ρy²dv;Iy=∫ρx²dv

所以Iz=∫ρ(x²+y²)dv=∫ρx²dv+∫ρy²dv=Ix+Iy

扩展资料：

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。

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