圆锥曲线总结

难点25 圆锥曲线综合题

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整

●难点磁场

(★★★★)若椭圆 =1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域

●案例探究

〔例1〕已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属

★★★★★级题目

知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识

错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的

技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+ 与R= 的大小

解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=

∴|MN|=2 =2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0

∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a

又|MN|=|y1－y2|=2a

∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0

∴0≤x0≤

圆心k到抛物线准线距离d=x0+ ≤a,而圆k半径R= ≥a

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交

〔例2〕如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值

命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合属★★★★★级题目

知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值

错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点

技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法

解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0)

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=± ,即x=±m

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组 ,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)

整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|= =(xB－xA)． ,|CD|= (xD－xC)

∴||AB|－|CD||= |xB－xA+xD－xC|= |(xB+xC)－(xA+xD)|

又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|． =| |． = (2≤m≤5)

故f(m)= ，m∈〔2,5〕

(2)由f(m)= ，可知f(m)=

又2－ ≤2－ ≤2－

∴f(m)∈〔 〕

故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5

〔例3〕舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目

知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程

错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚

技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程

解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 )

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x－3y+7 =0

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上

直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10

据已知两点的斜率公式，得kPA= ,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°

设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 ,

∴sin2θ= ,∴仰角θ=30°

●锦囊妙计

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域

(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值

●歼灭难点训练

一、选择题

1(★★★★)已知A、B、C三点在曲线y= 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )

A3 B C D

2(★★★★★)设u,v∈R，且|u|≤ ,v＞0,则(u－v)2+( )2的最小值为( )

A4 B2 C8 D2

二、填空题

3(★★★★★)A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA= ,则椭圆离心率的范围是_________

4(★★★★)一辆卡车高3米，宽16米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________

5(★★★★★)已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________

三、解答题

6(★★★★★)已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围

7(★★★★★)已知抛物线C：y2=4x

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由

8(★★★★★)如图， 为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 =λ，求λ的取值范围

〔学法指导〕怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始

高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有为此需要我们做到：

1重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容

2重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等

3加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习此处一直为高考的热点这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决这样加强了对数学各种能力的考查

4重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练

参考答案

难点磁场

解：由方程组 消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：

歼灭难点训练

一、1解析：由题意知A(1，1)，B(m, ),C(4,2)

直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=

∵m∈(1,4),∴当 时，S△ABC有最大值，此时m=

答案：B

2解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值

答案：C

二、3解析：设椭圆方程为 =1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得 x2－ax+b2=0即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2= －a,0＜x2＜a，即0＜ －a＜a ＜e＜1

答案： ＜e＜1

4解析：由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x= 时，y=－ ；当x=08时，y=－ 由题意知 ≥3,即a2－12a－256≥0解得a的最小整数为13

答案：13

5解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)

∵BP⊥PQ,∴ =－1,

即t2+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0即s2+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1

答案：(－∞,－3 ∪ 1,+∞)

三、6解：设A(x1,y1）,B(x2,y2)

由 ,得(1－k2）x2+2kx－2=0,

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－ ＜k＜－1

7解：由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l：x=－1

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1)

(2)设Q(x,y),则|MQ|=

(ⅰ)当m－ ≤1,即m≤ 时，函数t=[x－(m－ )2]+m－ 在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值

(ⅱ)当m－ ＞1,即m＞ 时，函数t=[x2－(m－ )2]+m－ 在x=m－ 处有最小值m－ ,∴|MQ|min=

8解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 ＞|AB|=4

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 ,∴a= ,c=2,b=1

∴曲线C的方程为 +y2=1

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞ 由图可知 =λ

由韦达定理得

将x1=λx2代入得

两式相除得

①

M在D、N中间，∴λ＜1 ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)

在圆锥曲线方程与直线方程联立时，判断直线方程该用斜截式还是反斜截式，可以考虑以下两种情况：

直线与圆锥曲线交点在y轴右侧（即直线在圆锥曲线上方），此时可以使用斜截式。

直线与圆锥曲线交点在y轴左侧（即直线在圆锥曲线下方），此时可以使用反斜截式。

具体来说，如果圆锥曲线的方程为 F(x,y)=0，直线的方程为 y=kx+b，那么可以先将直线方程代入圆锥曲线方程中，得到一个关于 x 的方程 F(x,kx+b)=0。此时如果要使用斜截式，需要将 kx+b 表示成 x 的形式，然后代入圆锥曲线方程中求解；如果要使用反斜截式，需要将 x 表示成 kx+b 的形式，然后代入圆锥曲线方程中求解。

需要注意的是，有些情况下既可以使用斜截式，也可以使用反斜截式，此时可以根据实际情况选择一种更方便的方法。

y=kx+b 过(0, b)且斜率存在, 不能用于垂直x轴的直线

x=my+b 过(b, 0)的直线, 不能用于平行x轴的直线(k=0)

简单的说, 前者不能是"竖"直线, 后者不能是 "横"直线

在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。