笛卡尔研究几何的出发点是什么？他又是怎样得到解析几何思想？

笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几何”或称“座标几何”。

解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。

此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a, b, c以及未知数x, y, z等，还有指数的表示方法。他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式。还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。

笛卡尔坐标系

在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。

笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。

为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。

笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

轶事：蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立

据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

高中时期空间几何问题有时会比较复杂，涉及到证明线面之间的垂直平行的关系或者求解点/线/面之间的距离，用传统证明方式有时需要有很强的空间概念，要考虑到很多共点共面的问题，必要时会借助一些辅助线。而借助解析几何的概念会使得空间几何数字化，简化解题流程及思考过程。例如证明不共面的AB与CD垂直时，传统办法会借助一些定理，例如直线与一个面垂直那么这条线就与这个面上所有的直线垂直等等，而利用解析几何时，只需构建合适的空间坐标系，然后计算AB向量×CD向量=0即可，无需考虑AB或CD所在平面。

笛卡儿（１５９６～１６５０）笛卡儿，法国数学家、物理学家，出生于法国安德尔—卢瓦尔省。

笛卡儿的最大贡献是创立了解析几何学。在分析了几何学和代数学各自的缺陷以后，他找出了把两者结合起来的方法，这就是解析几何学。笛卡儿的基本思想是，在平面上建立点的坐标，而一条曲线就可以由一个含两个变数的代数方程来表示。这样把一个几何问题通过坐标系归结为代数方程。用代数方程研究这个方程性质后，再翻译成几何语言，就得出几何问题的解法。笛卡儿用这种方法研究了具有两个变数的二次方程，并指出了这种方程一般表示椭圆、双曲线或抛物线。

解析几何学的建立使变数进入了数学，引起了数学的深刻革命，解决了生产和科学技术中的许多重大问题，大大促进了生产和科学技术的发展。

梦中的灵感

那是一个深秋的夜晚，年轻的士兵笛卡儿正躺在军用帐篷里。一缕月光透过帐篷的缝隙照射在床上，让笛卡儿想起了天上的繁星。怎么给天上的每一颗星星确定位置，这是个笛卡儿日思夜想而不得其解的问题。

今晚，他的思绪特别活跃，以至于很难入睡。如果有一张星星的位置图……可是天上的星星那么多，而且星空也不断地变化，怎么可能画好呢？即使画出来了，要寻找某一颗星星时，还得拿出整张图来，多么不方便！要是能用几个简单的数字来表示就好了……

突然，一阵哨声响起，帐篷外传来了教官的脚步声，是教官来查营了。

笛卡儿赶紧起身，敬礼道：“您好，长官！”

教官回礼后，将笛卡儿拉出了帐篷，说：“你不是整天想要用数字来表示天上的星星的位置吗？”

“是的，长官！”笛卡儿一听到这话，非常兴奋，“可是，怎么表示呢？”

只见教官从身后抽出2支箭，将箭搭成一个“十”字形，并将这“十”字高举过头，对笛卡儿说：“你看，假设我们把天空看成一个平面，这个‘十’字架将平面分成4个部分。再假定这2支箭能朝４个方向射得无限远，那么，无论天上有多少颗星星，每一颗星星只要向这2支箭上分别引出2条垂直线，就可以得到2个数字。这样，这颗星星的位置不就能轻而易举地确定了吗？”

“对呀！”笛卡儿恍然大悟，兴奋不已，猛地抱住了长官……

突然，笛卡儿睁开眼睛，发现自己正紧紧地拥抱军用毛毯呢，根本就没有什么教官！原来只是一个梦。笛卡儿忙用力捏了一下自己的大腿，痛！刚才真的是在梦中。

不过，这个奇特的梦却启示了他。醒来后，笛卡儿马上整理了自己的思路，最后，坐标系在脑海里形成了。

首先，笛卡儿建立了2条数轴，它们之间垂直交叉，交叉点称为原点。这两条数轴分别命名为x轴和y轴。也就是今天的平面直角坐标系。有了这个坐标系之后，如果平面内有一点，并且已知这点分别到两条坐标轴的垂直距离，即可确定这一点的位置；反之亦然。这样，笛卡儿通过坐标系的建立，确定了平面上的点与有顺序的实数对（x，y）之间的一一对应关系，从而架起了一座沟通几何与代数的桥梁，为后来各门学科的进一步发展提供了简捷的手段。

设直线过定点P（x0,y0）,则A对应的参数是t1 ,B对应的参数是t2。

且|AP|=|t1|,|BP|=|t2|，假设|t1| >|t2|:

1当A，B位于P的同侧时，t1,t2同号，|AB|=|AP|-|BP|=|t1|-|t2|=|t1-t2|；

26当A，B位于P的异侧时，t1,t2异号，|AB|=|AP|+|BP|=|t1|+|t2|=|t1-t2|。

扩展资料:

直线方程简介(t的几何意义)

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；

只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

参考资料:-直线方程

主要关系有：

(1) 平方关系

(sinx)^2+(cosx)^2=1

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2

(2) 倒数关系

sinxcscx=1

cosxsecx=1

tanxcotx=1

(3)商的关系

sinx/cosx=tanx

tanx/secx=sinx

cotx/cscx=cosx

扩展资料：

三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

基本公式

sin（2kπ+α）=sin2kπ cosα+cos2kπ sinα=0cosα+1sinα=sinα

cot（2kπ+α）=cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=-sinα

cot（π+α）=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα

sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα

sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα

sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα

cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα

sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα

sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα

sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=cotα

cot（3π/2+α）=tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=sinα tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2secα·cscα

sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=cscα+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

辅助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)] 

万能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]

参考资料：

-三角恒等式

-三角函数

答：

1）

动点到定点F（0,2）的距离等于其到x轴（定直线）的距离

所以：

动点的轨迹是抛物线，焦点F（0,2），准线y=0

所以：p=2-0=2

所以：顶点为（0,1），抛物线开口向上，焦点在y轴上

所以：抛物线为x²=2p(y-1)=4(y-1)

所以：y=x²/4+1

2）

直线y=kx+b过定点F（0,2），则b=2，y=kx+2

与抛物线联立得：

y=x²/4+1=kx+2

x²-4kx-4=0

根据韦达定理有：

x1+x2=4k

x1x2=-4

AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²

=(1+k²)(x1-x2)²

=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]

=(1+k²)(16k²+16)

=16(1+k²)²

所以：AB=4(1+k²)

3）

以AB为直径还是弦啊？

C（0，4-2√3)，D（0，4+2√3)，圆心在CD的中垂线y=4上。

解析几何是指借用坐标系利用代数方法研究集合对象的关系；立体几何是指三维欧式空间的几何的传统名称。高考一般来说就是那道立体图就是立体几何题，椭圆，双曲线这类就是解析几何！其实立体几何相对比较容易，一般要求拿满分，解析后面几问相对较难，不作太大要求！其实立体几何题可以说解题方法是千篇一律的，最简单就是建立一个坐标系就可以做出来了！如何建立最好的坐标系就要看你平常有没有做相关的练习题。而解析几何第一问很简单，一般是求方程，但是后面几问相对较难，但是后面那些回答其实也会有类似的题！！我说的是大题。

如何学好解析几何圆锥曲线？——圆锥曲线解题常规流程（完整文章，可百度）

解析几何是高考重要的考点，往往是一个高分值的大题带一两个选择或填空题，所占分值较高。解析几何中最流行的货币是坐标。学习解析几何，要善于将问题转化并化简，特别是很多时候要将条件及目标转化为坐标关系才能建立联系求解。

笔者以圆锥曲线为例，将解析几何问题常用的方法及流程阐述如下：

1、审题：审题就是要将所有条件尽量用符号或图表形式表现出来

(1)画图（数形结合）。要学会抓住重点画出简图。

(2)标量、设量（推算）。尽量将长度角度用简洁的单个字母表示，长度用小写英文字母，角度用小写希腊字母，便于识别和计算。

2、设点、设方程、设待定系数。需要形成一套符合数学体系的使用字母的习惯，注意新设的待定系数法不要与题目中已有的字母重复。

3、将已知条件和目标（如：面积、长度、角度、向量等关系）转化为坐标关系。这通常是题目的难点所在，许多时候，如果转化不了就不能破题。

常用方法：三角函数知识；正弦余弦定理；向量共线定理、向量数量积公式，等等。

有时候，也可以利用平面几何的方法，如全等三角形知识，相似三角形知识，等等。

4、根据目标要求联立方程。联立方程的目的是什么：

(1)求方程的根即点的坐标；

(2)求根与系数关系(如利用韦达定理，注意 > 0，≥ 0， = 0)

5、联立方程，层层消元。如果有多个方程，联立要注意相关性，消元要注意优先顺序。

有时常会利用分离变量法，找出目标变量与中间变量之间的等量关及不等量关系。

6、熟记圆锥曲线定义、常用公式、常规方法及常用解题流程，可以以知识卡片形式记录下来，并在训练时加以灵活运用。如：

7、利用中间变量与目标变量的关系，求目标变量的值或者范围或证明目标结论。

经常用的方法有：函数思想、基本不等式、导函数思想、分离变量法、分离常量法、换元法（三角替换法、参数法）、长除法、因式分解等方法。

8、注意答题策略。

比如，解答题的第一问如果不能求出来或证明出来。如椭圆方程等，我们可以用特殊值法先猜出曲线方程，继续做下面一问得分。

比如，如果遇到计算量大的步骤，可以暂时不做，先做计算容易的部分。可以节省时间提高解题效率。

…… ……

解析几何的解答题通常书写量大、计算量大、篇幅也较长。

想要学好解析几何，仅仅局限于课本是不够的，需要多加练习、选择性的练习、针对性的练习、系统的练习，练习后还要学会不断总结、归纳、反思，不断积累能够提高效率的解题经验。

书写能力和计算能力较弱的学生，更应该在提升书写的清晰度、简洁度、书写速度，提高计算的准度与速度等方面上狠下功夫。