以下这个级数，为什么用莱布尼兹法判别出来的结果不对？

an=(-1)^(n+1)/n

1

an 交错没有问题，

2

|an|=1/n 严格递减没有问题，

3

|an|=1/n 趋近于 0 没有问题，

根据莱布尼茨定理原级数收敛，

绝对值级数是发散的，

但是原级数是收敛的，不是发散的，

莱布尼茨定理中的交错：只要求正负项交错，可以是正负正负正负……也可以是负数正数负数正数……还可以撇开前面任意多有限项来讨论交错问题，

在求n阶导数的时候

如果是两个函数组合在一起f(x)g(x)

二者都是比较基本的函数式

当然就用莱布尼茨公式合适

如果很容易得到一二三阶导数

而且看出其中的关系，那就归纳法总结吧

1、我考虑了很久，还是决定对你下手。我要拿刀把你切成一块一块，看着你露出鲜红的肉，然后张大嘴巴狠狠咬上一口，再一口。哇!这西瓜真甜!

2、男：你真好你真好你可否成为我的宝，女：我不要我不要不要你个矮蹲炮。男：生气不好生气不好生气容易变老，女：死皮不好死皮不好死皮赖脸算鸟。

3、你有一张老成的脸，一双眯缝的眼，一件花格子衬衫，一套继承的房产，冒起泡来就像句点，更主要的是，听说你还很长寿，龟寿万年，是真的吗

4、车祸!司机昏迷，宠物狗无恙。交警问狗：出事前你主人在干嘛小狗做喝水状，摇摇晃晃。交警：噢在喝酒。那你在干嘛小狗端坐，双手做握方向盘动作。

5、两兄妹都到了爱美的年龄，每天总对着镜子顾影自怜，但妈妈常常只给妹妹买漂亮衣服，哥哥为此对爸抱怨此事，父亲安慰道：外销的东西要特别讲究包装!

6、某同事把一猫和一狗拿到办公室玩，另一同事想挑起事端让猫和狗打架看热闹，就打了猫一下，然后说了很经典的一句话：狗打的!

7、老虎被臭虫咬了，老虎低头寻找，却没找到，这时一只七星瓢虫爬了过来，老虎上去将其按住：小丫穿个唐装我就不认识你了

8、某男生性沉默寡言，婚后生有一女，女儿长到十岁，终于按捺不住好奇心，拉住其母问：妈妈，这个每天和咱们一块吃饭的人到底是谁呀

9、我牵着马，你挑着担，我前边走，你后边看，我吃果子，你埋怨，我看着你无奈的脸给你一个，你边吃边笑开了容颜，你说：猴哥，这果子真好吃!

10、如果说遇上你，是缘分的安排，那么爱上你，就是我英明的选择，忘不了你，是因为我爱你太深，也许你不懂我的心，但这也减少不了我对你爱——烤鸭!

11、温度高了，知了叫了，聚会少了，日子淡了，通讯好了，传情便了，铃声响了，祝福来了，借夏天的口，祝福牵挂的你，愿你事事如意。

12、爱，就是在一座叫缘分的桥上相遇，喝一碗叫相思的汤，拥一颗叫不变的心，过一种叫简单的生活，然后彼此牵手，走一条叫一辈子的路。

13、单位的小王结婚后午饭都是自己带，但是带的都是早饭剩下来的，一位要好的同事问：你怎么老是带剩饭剩菜呢小王摇摇头叹息说：唉，谁让咱娶的是剩女呢!

14、带美眉去健身房演示各种器械，其中有一项是练习背阔肌的橡皮筋。美眉突然冒出一句话，你每天晚上都到这来拉皮条吗我当场晕倒。

15、一胆小病人被推进手术室，他要大夫护士把口罩摘下来，大夫说不行这违反规定，病人一听急了说别骗我了，是怕出了事被我认出来吧

16、爱因斯坦转告：魏尔斯特拉斯转告：莱布尼茨转告：洛必达转告：牛顿转告：拉格朗日转告：费马转告：罗素转告：年轻人，祝你学习进步!

17、吹红了桃花，吹绿了柳叶，吹开了心中积压的疲惫，吹醒了青蛙，吹回了燕子，吹美了幸福快乐的心情，春日季节，愿你健康，平安。

18、亲爱的：你在天上飞呀飞，我在地上追呀追!你在水里游呀游，我在岸上瞅呀瞅。虽然我很黑，但是我的魅力放光辉!

19、轻轻的问候融入了我所有的心愿，淡淡的祝福倾注了我无限的真诚，静静的一则短信悄悄地填满屏幕，永远开开心心快快乐乐。

20、气温忽高忽低，就像意外袭击;房价只高不低，很难有个屋脊;工资一路走低，让人饱受打击。最实在的是啥友谊!朋友，照顾好自己!

21、家里养过猫猫，冬天趁猫咪睡觉不醒人事的时候，偷偷把热水袋放在它身子下面，十秒钟猫咪以火箭般速度冲到床下，四脚摊开，呈灰机状，已达到快速降温效果。

22、喜欢一女神很久了，表白过一次被拒绝了，但是又会经常聊天。今天跟她聊天，中途有事走开了，我老妈冒充我继续聊。等我回来一看聊天记录，居然答应做我女朋友了!姜还是老的辣啊!

23、我是一只痴情的青鸟，情愿在你的枪口下受伤，即使你大步离去，你的笑声也风一样温暖我的心房，如果你偶尔回头，就会发现泪水已盈满我的眼眶。

24、听说你没有短信功能，所以发这条短信实验。如你收到，证实有短信功能并是我的短信，请给我回复;我有了，是你的!

25、小女孩爱哭，奶奶哄她说：乖孩子，别哭了!女孩子一哭，脸就会变丑的。小女孩果然不哭了，看了奶奶很久，问道：奶奶，您从小到现在到底哭过多少次了!

26、我有一栋独体别墅，超低碳超环保，宽敞明亮全空调，空气清新无喧闹，本想趁今天世界居住日时请你来住住，但最近风大，屋顶茅草吹没了，就改天吧。

27、明天起，市府决定清除所有长相丑陋有损市容的弱智青年!你快收拾东西出去避风头，别说是我通知你的，切记!

28、记者：两月前评论该片看着看着就睡着了，现在不仅票房好销售也好。你对此怎么看影评家：一个可能的解释是全国的失眠患者反复观看了该片并决定收藏它。

29、人生像煎饼，翻够回合才能成熟;喝醉不是酒的错，而是感情度数高;书到用时方恨少，肉遇减肥才嫌多;乔布斯挂了，咱福布斯排名又上升一位!

30、品牌与性：二十岁的男人奔腾三十岁的男人日立四十岁的男人。正大!五十岁的男人微软!六十岁的男人松下!七十岁的联想!

31、壁虎误入鳄鱼池，危急时刻，壁虎急中生智，一把抱住鳄鱼大叫：妈妈!鳄鱼一愣，立刻老泪纵横：都瘦成这样了，别再出去上班了!

32、用地平线织一件毛衣送你，不管你在哪，都走不出我视线;用视线织一件毛衣送你，不管你在哪，我都把你看见。

33、早上上班要出门的时候，老婆说：我今天要和姐们逛街，没钱了。我投诉鄙视的目光，掏出钱包，拿出20元问：可以吗老婆点点头，然后，然后她拿着我的钱包就走了。

34、我是一棵葱，站在风雨中。谁敢拿我去蘸酱。K他老祖宗，走过南，闯过北。厕所后边喝过水，火车道上轧过腿，还和小猪亲过嘴，看啥看，亲你咋地!

35、不是每一朵花都能代表爱情，但是玫瑰做到了;不是每一种树都能耐住干渴，但是白杨做到了;不是每一头猪都能看短消息，但是你做到了。恭喜你!

36、妻子：老公，出去散散步吧丈夫：好啊!你穿上外衣吧妻子：怎么啦丈夫：你穿得太少了，光背露胸的，咱家的东西不能让人随便看!妻子：那你也不能随意看人家的东西，把近视镜摘了!

37、俺村后生贺新春四大喜：亮莹莹雪花飘一窗;大疙蛋土豆收一仓;酸溜溜老醋酿一缸;俊俏俏相好挤一炕。

38、天气有点闷热，怕你心堵郁闷，送你五彩棒冰，让你凉爽解闷;散发水果清香，传递丝丝清凉，让你暑热全消，享受清爽一夏。还等啥快点收好藏心房!

39、一对男女坐火车。当火车通过一个很长很黑的隧道后。男的说：早知隧道这么长，刚才我该亲你一下。女的尖叫：难道刚才亲我的人不是你

40、飞行途中大部分旅客都入睡了，有个淘气的男孩在飞机走廊拍皮球大喊大闹，一人被吵醒，大声训斥男孩：喂!小朋友，你干嘛不上外面去玩!

41、整容前，阿花看见帅哥，鼓足勇气邀他共舞。帅哥：对不起，我不会!整容后，帅哥主动邀请阿花，阿花害羞地说：我不会，对不起。帅哥：没关系，我教你!

42、你还记得大明湖畔的夏雨荷吗你还记得当年奄奄一息的小燕子吗你还记得未语泪先流的紫薇吗忘得一干二净不要紧，你还记得欠我顿饭吗

43、全球通移动用户：近期因调试网络，如遇您的手机信号不良，请您用力将手机往地上摔，尽量使劲摔，反复几次手机即恢复正常。

44、想约一个小学妹一起吃晚餐，无论怎么说，她总是说心里虚的慌，不敢见我。我急了，突然憋出一句：那你见我之前先报警，总行了吧。

45、班长要求新兵听树在说些什么。过了一会新兵回报不知道，班长要求新兵再听一次。这次新兵从树后跑回来说：树说有话要跟班长讲。

46、我郑重向你转告：困了要睡觉，累了往沙发上靠，快乐了要微笑，烦恼要忘掉，抑郁找我开导，想我了请我吃甜糕，如果不回短信，出门被蚂蚁绊倒!

47、女同事问男同事：知道女人最喜欢男人什么大什么粗什么硬男同事满脸通红，答不出来。女同事一脸坏笑地说：笨啊，当然是财大气粗关系硬啦!

48、老婆总觉得婚后生活不够浪漫，就对老公说：我们再谈一次恋爱如何谁知老公忙不迭地摆手说道：算了吧，我可不愿再回到万恶的‘旧社会’!

49、儿子在大街上拾了个台球，然后扔来扔去，父亲看到说：小心点，别砸坏人。儿子听后问：爸爸，那好人就可以砸啊

50、一女人很丑还没有口德，一次去相亲，男主角很久才到。女人见他是个胖子，火了：死胖子，丑男人!男主角也火了：至少我曾经瘦过，你漂亮过吗

2笑话大全笑破你的肚子_每日开心一刻笑话大全

1、装什么城里人，现在地球都叫村。

2、在花一样的年纪里，却长成了一颗多肉。

3、你骂我一定是因为你不够了解我，因为了解我的人，都想打我。

4、一身臭汗味，我有我的滋味!

5、我有一颗早起的心，可我的被窝不同意。

6、不和我聊天，是怕我偷你表情包么

7、比你优秀的人比你更努力，这个你可以接受。但是比你优秀的人，比你更不努力，你就懵了，凭啥呀就凭你蠢。

8、是小女子不才，无心冒犯了公子，公子可容我冒犯一生。

9、打你就打你，还要挑日子吗

10、剪完头，理发师问我怎么样，我沉默了一会儿对他说：你开心就好。

11、一直对发型和身材不满意的人，有一个共同点：不肯承认这是脸的问题。

12、小时候，男孩子喜欢电动玩具，女孩子喜欢娃娃。长大了就反过来了。

13、跌倒了站起来，换个好看的姿势再倒下去。

14、我其实是个天使，之所以留在人间，是因为体重的关系。

15、自恋不是罪，迷恋哥的请后面排队。

16、每天都在纠结着三件事：晚上睡不着，早上起不来，后悔昨天睡太晚。

17、别骂自己的孩子是小兔崽子，因为从遗传学的角度来讲，这对家长是不利的。

18、菇凉你现在流的泪，是当初你谈恋爱时脑子进的水。

19、女孩子晚上千万不要一个人出门，真的很危险，满大街的烧烤夜宵甜点，没人劝阻忍不住随便进一家，就要长好几斤。

20、今天外面风好大，我好害怕，万一别人都被刮走了，就我刮不走，那多丢人。

21、我不整理房间，我是乱室佳人。

22、我会煮各种口味的方便面，你要不要考虑娶了我。

23、两耳不闻窗外事，一心只读电子书。

24、我有辣条和酒，就问你跟不跟我走。

25、扔硬币：正面就去上网、反面就去睡觉，立起来就去写作业。

26、给我未来的婆婆一个差评，发货太慢!

27、梦想还是要有的，不然哪天喝多了你跟人聊啥。

28、喜欢的姑娘是别人的，不喜欢的姑娘也他妈是别人的。

29、有钱的人怕别人知道他有钱，没钱的人怕别人知道他没钱。

30、女生晒照的自我修养：自拍三千只取一张。

31、你住的城市下雨了，很想问你有没有带伞，可是我忍住了，因为我怕你说没带，我笑出声来。

32、努力去不爱一个人，比努力去爱一个人辛苦多了。

33、曾试过把冰箱门慢慢地关上，想看看里面的灯究竟是什么时候灭的。

34、兄弟为手足，女人为衣服。谁动我手足，我扒谁衣服。

35、我知道我的脾气不好，如果你不能忍，你就应该好好反省一下你自己，为什么别人可以。

36、我这么好的一姑娘，你都瞧不上，少年，莫非你喜欢男人。

37、有些人就是这样的，自己是个蛆，就觉得全世界就是一个大粪池。

38、做一个吃货无忧无虑，当一个痴货无牵无挂。

39、叫了个保洁来打扫房子，阿姨进门要穿鞋套。我赶紧说：不用不用可以直接踩进来!保洁阿姨：不是，我怕把我鞋弄脏了。

40、曾经我对你的爱，你当做儿戏，现在你们对我的爱，我当你放的一个屁。

41、刚吃饭忘带钱了就跟老板说下次补上，老板不愿意!我一生气叫来10多个伙计，终于把饭钱给凑齐了!

42、以后你结婚了，如果新郎不是我，我就搬到你家隔壁去住，对你孩子比对亲生的还好，直到让你老公怀疑人生。

43、这世间，真心本就稀缺，更该俭省。

44、每天醒来的第一件事就是，想睡觉。

45、泼出去的水，老子连盆子都不要了。

46、你总说我懒，是啊，喜欢上你就懒得放弃你了呀。

47、世上总有一种无私的人，他们宁愿让自己不开心，也要让别人不开心。

48、生活不只有眼前的苟且，还有数不清的作业。

49、我在南方三十度，你在北方穿秋裤。

50、一百斤的石头我可能提不起来，但是，如果是一百斤人名币，我保证拎起来就跑。

解：

dx/(1-x)^2

=∫-d(1-x)/(1-x)^2

=1/(1-x)+C，其中C是任意常数

∫dx/(1+x)^2

=∫d(1+x)/(1+x)^2

=-1/(1+x)+C，其中C是任意常数

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

y'=ae^(ax+b),y''=a^2e^(ax+b),依次类推y'(n)=a^ne^(ax+b)

y=-1+2/(1+x),y'=-2/(1+x)^2,y''=23/(1+x)^3,

依此类推n阶导数y'(n)=(-1)^n(n+1)!/(1+x)^(n+1)

一、少年时光：

1642年的圣诞节前夜，在英格兰林肯郡沃尔斯索浦的一个农民家庭里，牛顿诞生了。牛顿是一个早产儿，出生时只有3磅重。接生婆和他的双亲都担心他能否活下来。谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且活到了竟活到了85岁的高龄。

牛顿出生前三个月父亲便去世了。在他两岁时，母亲改嫁。从此牛顿便由外祖母抚养。11岁时，母亲的后夫去世，牛顿才回到了母亲身边。大约从5岁开始，牛顿被送到公立学校读书，12岁时进入中学。

少年时的牛顿并不是神童，他资质平常，成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。

药剂师的房子附近正建造风车，小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己也制造了一架小风车。推动他的风车转动的，不是风，而是动物。他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不断的跑动，于是轮子不停的转动。他还制造了一个小水钟。每天早晨，小水种会自动滴水到他的脸上，催他起床。

后来，迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农。但牛顿对务农并不感兴趣，一有机会便埋首书卷。每次，母亲叫他同她的佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书。

有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去，他发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题。牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学。牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲取着书本上的营养。

二、求学岁月

牛顿19岁时进入剑桥大学，成为三一学院的减费生，靠为学院做杂务的收入支付学费。在这里，牛顿开始接触到大量自然科学著作，经常参加学院举办的各类讲座，包括地理、物理、天文和数学。牛顿的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学多才的学者。

这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。于是将自己的数学知识，包括计算曲线图形面积的方法，全部传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。后来，牛顿在回忆时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。”

当时，牛顿在数学上很大程度是依靠自学。他学习了欧几里德的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿——解析几何与微积分。1664年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年，剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

正当牛顿准备留校继续深造时，严重的鼠疫席卷了英国，剑桥大学因此而关闭，牛顿离校返乡。家乡安静的环境使得他的思想展翅飞翔，以整个宇宙作为其藩篱。这短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，他的三大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想就是在这时孕育成形的。可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。

随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。

三、晚年时光：

晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长，在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会。没有他的同意，任何人都不能被选举。

晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。

1727年3月20日，伟大艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着： 让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上存在。

四、趣闻轶事一

1667年复活节后不久，牛顿返回到剑桥大学，10月被选为三一学院初级院委，翌年获得硕士学位，同时成为高级院委。1669年，巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职，26岁的牛顿晋升为数学教授。巴罗让贤，在科学史上一直被传为佳话。

牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分时，学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力，他却远远超过了常人。还是学生时，牛顿就发现了一种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法，算出了双曲面积到二百五十位数。

他曾经高价买下了一个棱镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分解为的有颜色的光。开始，他并不愿意发表他的观察所得，他的发现都只是一种个人的消遣，为的是使自己在寂静的书斋中解闷。他独自遨游于自己所创造的超级世界里。后来，在好友哈雷的竭力劝说下，才勉强同意出版他的手稿，才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。

五、趣闻轶事二、

作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往领带不结，袜带不系好，马裤也不纽扣，就走进了大学餐厅。有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。他抓住姑娘的手指，错误的把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去。牛顿也因此终生未娶。

牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事，结果作出了科学史上一个个重要的发现。他马虎拖沓，曾经闹过许多的笑话。一次，他边读书，边煮鸡蛋，等他揭开锅想吃鸡蛋时，却发现锅里是一只怀表。

还有一次，他请朋友吃饭，当饭菜准备好时，牛顿突然想到一个问题，便独自进了内室，朋友等了他好久还是不见他出来，于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了，鸡骨头留在盘子，不告而别了。等牛顿想起，出来后，发现了盘子里的骨头，以为自己已经吃过了，便转身又进了内室，继续研究他的问题。