【数学】球的表面积和体积公式是如何推导出来的？

推导圆球的体积和表面积计算公式的过程是这样的：

假设圆球的半径和圆柱的底面半径相等，都为r，则圆柱的高是2r，或者是d，再用字母和符号表示出圆柱的体积和表面积计算公式，然后分别乘

，就得出圆球的体积和表面积，最后进行整理。具体过程如下：

V圆柱=πr2×2r

=πr2×（r+r）

=πr3×2

V球=πr3×2×

=

πr3

S圆柱=πr2×2+πd×d

=πdr+πdd

=(r+d)

πd

=3r×2πr

=6πr2

S球=6πr2×

=4πr2

这样，圆球的体积和表面积的计算公式就都得出来了。

参考资料：

http://zhidaobaiducom/question/21761547htmlfr=qrl

体积推导：将球的表面分成无数个小面,然后以球心为顶点,连接这些小面,组成无数个近似于圆锥体

这些圆锥体的底面积的和就是球的表面积,高近似于球的半径

所以体积和就是:(4πr²)r/3=4πrrr/3

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回答者：

体积：

将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3 。因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3

表面积：

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

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