三角函数n次方积分公式

三角函数n次方积分公式：D=（n-1）/n（n-3）。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

三角换元常见公式为：

根式形式√a2-x2用x=asint（-π/2&lt；=t&lt；=π/2）替换，√a2+x2用x=atant（-π/2&lt；=t&lt；=π/2）替换，√x2-a2用x=asect（t不等于π/2）替换。

三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算，也可用于解决一些几何中的问题。把某些代数问题或几何问题转化为三角问题，这就是代数问题或几何问题的三角解法。

分类：

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。

高中数学中换元法主要有以下两类：

（1）整体换元：以“元”换“式”。

（2）三角换元：以“式”换“元”。

（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等。换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

详细过程是，设x=π-t设原式=I。∴I=∫(0,π)(π-t)√[sin²t-sint)^4]dt=π∫(0,π)√[sin²t-sint)^4]dt-∫(0,π)t√[sin²t-sint)^4]dt。

∴I=π∫(0,π)√[sin²t-sint)^4]dt-I。∴I=原式=(π/2)∫(0,π)√[sin²x-sinx)^4]dx。

再令x=π/2-y，可得I=(π/2)∫(-π/2,π/2)√[cos²y-cosy)^4]dy。被积函数是偶函数∴I=π∫(0,π/2)cosysinydy=π∫(0,π/2)sinyd(siny)=π/2。

供参考。

∫(0,π/2)[sin(x)]^ndx

=(n-1)/n(n-3)/(n-2)…4/52/3,n为奇数。

=(n-1)/n(n-3)/(n-2)…3/41/2π/2,n为偶数。

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。