西方经济学，边际效应

其实你的车轮问题同经济学上的最后一个饼的问题是一个道理：

呆子吃大饼的故事可谓家喻户晓。说一个呆子吃大饼，吃了5个饱了。呆子感慨：“早知道吃第五个饼才饱，又何必吃前面那4个呢？”呵呵，他之所以可笑就因为他分不清边际量和总量的关系：吃每个大饼都给他带来一份边际的饱的感觉，而最后饱了是5个大饼给他的总的感觉，这是一个总量。吃第一个大饼，第一个大饼带来的感觉是边际量也是总量；吃2个大饼，第二个饼带来的感觉是边际量，2个饼的感觉之和是总量；吃3个大饼，第三个饼所带来的感觉是边际量，而3个饼的感觉之和是总量……依此类推。

所谓边际，就是边、边缘。在一个连续增加的量中，最后新增加的量就是“边际”量。比如你刷墙时，最后一刷子就是边际刷子；老师给学生算总分时，最后一个被加进去的学生的分数就是边际分数。而“最后一个”的意思是，如果你算5个学生的总分，第五个就是最后一个，如果算10个学生的总分，第十个学生就是最后一个，所以最后一个的量就是边际量。

边际量可以理解为最后一个单位变量所带来的新的因变量的变化。对吃大饼来说，就是所吃的最后一个大饼所带来的感觉上的变化。

边际概念最早出现在1862年～1873年期间，当时三位经济学界的新人杰文斯、门格尔和瓦尔拉斯各自提出并逐渐发展起来“边际效用”理论，但他们不会料到“边际”到20世纪会成为一种主义———“边际主义”，而边际分析也逐渐发展成为经济学中最为重要和常见的分析方法之一。边际效用、边际产量、边际成本、边际收益、边际报酬、边际替代率以及边际消费倾向等概念在20世纪三四十年代已经被广泛使用。时至今日，边际分析方法和边际一词风光依旧，同时，边际分析也被引入西方财税理论中，边际税率就是其中一个极富实践意义的概念。

边际效用理论还可以解释经济学中著名的“价值悖论”。

价值悖论（paradox of value）又称价值之谜，指有些东西效用很大，但价格很低（如水），有些东西效用很小，但价格却很高（如钻石）。这种现象与传统的价格理论不一致。这个价值的悖论是亚当·斯密在200多年前提出的，直至边际效用理论提出后才给予一个令人满意的答案。解释这一问题的关键是区分总效用和边际效用。水给我们带来的总效用是巨大的，没有水，我们无法生存。但我们对某种物品消费越多，其最后一个单位的边际效用也就愈小。我们用的水是很多的，因此最后一单位水所带来的边际效用就微不足道了。相反，相对于水而言，钻石的总效用并不大，但由于我们购买的钻石极少，所以，它的边际效用就大了。根据边际效用理论，消费者分配收入的方式是使一切物品的每元支出的边际效用相等。人们也是根据这一原则来把收入分配于水和钻石上的：钻石的边际效用高，水的边际效用低，只有用钻石的高价格除以其高边际效用，用水的低价格除以其低边际效用，用于钻石和水的每元支出的边际效用才能相等。所以，钻石价格高，水的价格低是合理的。或者说，人们愿为边际效用高的钻石支付高价格，为边际效用低的水支付低价格是一种理性的行为。“物以稀为贵”的道理正在于“稀”的物品边际效用高。

供参考。

边际效用递减法则(The law of diminishing marginal utility，也称边际效益递减法则、边际贡献递减) ，边际效用递减是经济学的一个基本概念，是指在一个以资源作为投入的企业，单位资源投入对产品产出的效用是不断递减的，换句话，就是虽然其产出总量是递增的，但是其二阶导数为负，使得其增长速度不断变慢，使得其最终趋于峰值，并有可能衰退，即可变要素的边际产量会递减。

当消费者消费某一物品的总数量越来越多时，其新增加的最后一单位物品的消费所获得的效用(即边际效用)通常会呈现越来越少的现象(递减)，称之边际效用递减法则。也叫做戈森第一法则

边际效用递减原理通俗的说法是：开始的时候，收益值很高，越到后来，收益值就越少。用数学语言表达：x是自变量，y是因变量，y随x的变化而变化，随着x值的增加，y的值在不断减小。这就是著名的边际效用递减原理。

在一定时间内，其他条件不变下，当开始增加消费量时，边际效用会增加，即总效用增加幅度大，但累积到相当消费量后，随消费量增加而边际效用会逐渐减少；若边际效用仍为正，表示总效用持续增加，但增加幅度逐渐平缓；消费量累积到饱和，边际效用递减至0时，表示总效用不会再累积增加，此时总效用达到最大；若边际效用减为负，表示总效用亦会逐渐减少。

一般而言，消费者偏好某物而未能获得，或拥有数量不够大时，增加消费量则其满足感大增（边际效用增加）；但拥有数量足够时，再增加消费量则其满足感增加幅度逐渐平缓（边际效用递减）；拥有数量太多时，再增加消费量则反而感觉厌恶（边际效用减为负且继续递减，累积之总效用因此，亦减少）。在正常状况下，消费者拥有足够数量而边际效用递减后，会将有限资源配置转移以满足其他欲望，不至于消费同一商品过量到感觉厌恶。

随着可变要素投入量的增加，可变要素投入量与固定要素投入量之间的比例在发生变化。在可变要素投入量增加的最初阶段，相对于固定要素来说，可变要素投入过少，因此，随着可变要素投入量的增加，其 边际产量 递增，当可变要素与固定要素的配合比例恰当时， 边际产量 达到最大。如果再继续增加可变要素投入量，由于其他要素的数量是固定的，可变要素就相对过多，于是边际产量就必然递减。

边际效用 或者 边际收益 ，指的是消费者从一单位新增商品或服务中得到的效用（满意度或收益）。在一定时间内，每增加一单位消费量所能增加的效用单位，亦即多消费该商品一单位所增加的满足感幅度。这个概念是从19世纪的 经济学家 们解决价格的基本经济意义发展而来。 奥地利学派 的 弗里德里希·冯·维塞尔 定义了这个术语。

奥地利经济学家 奥尔根·冯·庞巴维克 对于边际价值理论给了一个很精彩的描述，经常被 经济学 教科书所引用，简单地翻译为：

一个农民开拓者拥有五大袋的谷物，不能卖掉，也买不来更多。他有五个可能的用途：做主食，长力气，喂养小鸡来改善伙食，酿造威士忌和喂养鹦鹉娱乐。然而他丢了一袋谷物，他不会减少每一个用途的量，而是让鹦鹉少吃点，因为它相比其他的用途带来的效用小，换句话说，这就是边际。正是基于边际，人们做出 经济决策 ，而不是其他的什么美妙东西。

边际效用递减指每一新增的货物的边际效用要低于其一个的。例如每一块新增面包的效用给拥有很少面包的人来说很大，当他拥有的面包很多时，效用就小了。

边际效用递减是 经济学 中的基本假设，但并不总是要这么假设，这取决于 无差异曲线 的 凸度 。

MU =ΔU/ΔQ = dU/dQ =效用变动量/消费变动量

边际效用是每一单位消费量的效用变动幅度，而总效用为每一单位边际效用之总和。因此，在图形上，边际效用是总效用曲线的斜率，即边际效用函数为总效用函数的一阶导数（一次微分）。

上升，消费者才愿意再增加消费商品X。如此由边际效用递减曲线导出负斜率的需求线，线上每一点代表每一需求量，对应消费者愿意支付的最高价格。

当消费者实际支付的价格P低于其愿意支付的价格，亦即消费（购买）商品所获得的效用，大于持有货币的边际效用，因此，产生消费者剩余（consumer's surplus；CS）。

经济学家 马尔萨斯的人口论 （1798年）的一个主要依据便是边际效用递减规律。他认为，随着人口的膨胀，越来越多的劳动耕种土地，地球上有限的土地将无法提供足够的 食物 。最终劳动的边际产量与平均产量下降，但又有更多的人需要食物，因而会产生大的饥荒。幸运的是，人类的历史没有按马尔萨斯所说的状况发展(尽管他正确地指出了“劳动边际报酬”递减)。

20世纪，劳动技术改变了许多国家(包括发展中国家，如印度)的生产方式，劳动的平均产出因而上升。这些进步包括高产抗病的良种，更高效的化肥，更先进的 收割机械 。在二战结束后，世界上总的食物生产的增幅总是或多或少的高于同期人口的增长。

粮食产量增长的源泉之一就是农用土地的增加。例如：1961—1975年，在非洲， 农业用地 所占的百分比从32％上升到33．3％，拉丁美洲则从19．6％上升到22．4％，在远东地区，该比值则从21．9％上升到22．6％，但同时，北美的农业用地则从26．1％降至25．5％，西欧由46．3％降至43．7％。显然，粮食产量的增加在更大程度上是由于技术的改进，而不是农业用地的增加。

在一些地区，如非洲的撒哈拉，饥荒仍是个严重的问题，劳动生产率低下是其中的原因之一。虽然其他一些国家存在着农业剩余，但由于食物从生产率高的地区向生产率低的地区的再分配的困难和生产率低地区收入亦低的缘故，饥荒仍威胁着部分人群。

根据边际效用递减法则，则消费者消费某一物品所获得的 边际效用 还是有可能呈现负值，以吃饭的数量为例，当吃饭超过某一数量时，消费者会吃不消，此时再多吃饭反而成为类似处罚的效果，消费者再多吃的结果将导致负的 边际效用 。

但是实际上当假设有理性的消费者追求 总效用 最大的行为时，当 边际效用 降低到0的时候，消费者将不再增加 消费量 。

另外，以消费者所能获得的货币为例，金钱是多多益善的，亦即当货数量持续增加时， 边际效用 有可能递减，但并不会下降到「负值」，而是当递减到某一效用水平之后，其再递减的程度几近于0，故使货币的 边际效用 呈现类似不变的常数，故在简化分析的考虑下，亦可假设货币的边际效用不变。

边际收益递减原理，在生产、生活、科学研究和社会管理中的例子可以说是随处可见，枚不胜举。

在生活中，比如谈对象，当谈第一个对象的时候，印象往往是最深刻的，谈第二个对象印象就没有第一个那么深刻，第三个没有第二个深刻，依次类推。在这里，感情的效应值随着你所谈朋友数量的增加而在减少，这就是人们为什么对初恋那么难忘那么刻骨铭心的原因。尽管第一次谈的对象，不一定是最合适也不一定是最完美的，但却是最难忘的。因为第一次，感情难忘值是最高的。再比如，有一个地方很好玩，是旅游的好去处，如果你第一次去，就觉得很新鲜新奇，玩得很痛快，觉得收获也不小，但如果去的次数多了，就不觉得新奇好玩了。由此我们还可以明白：为什么我们对身边经常看到的一些事物常常会熟视无睹、无动于衷呢？因为你看见它的次数多了，对它的注意力就减弱了，最后就目中无物，没有一点印象了。这其实也是你的注意力在随着所见次数的增加而在衰减。

在生产中，边际效应递减的例子也不少。比如，在农田里撒化肥可以增加农作物的产量，当你向一亩农田里撒第一个100公斤化肥的时候，增加的产量最多，撒第二个100公斤化肥的时候，增加的产量就没有第一个 100公斤化肥增加的产量多，撒第三个100公斤化肥的时候增加的产量就更少甚至减产，也就是说，随着所撒化肥的增加，增产效应越来越低。在科学研究中，如心理学，研究人的记忆规律，发现遗忘率是随着人 记忆 次数的增加而减少，记忆的次数越多，遗忘的可能性就很少，非常符合边际收益递减规律。

在社会管理中，一个政策出台以后，刚开始往往管理或者规范效应很明显，但随着时间的推移，这项政策的功能就越来越小了，越来越不适宜社会管理的需要了，也就是说政策的 管理规范 制约或者引导效应在不断减弱，这就是为什么宪法法规法规部门章程等每隔一段时间要进行调整和更新的主要原因。总之，只要你稍加注意，就会发现很多边际效应递减的例子，其中隐藏在背后的原因可能是五花八门、千差万别的，但外部都呈现出一个规律性的东西，就是边际效应在递减。掌握这个规律，对我们分析问题和解决问题提供了一个很好的工具。

1 在现代消费者理论中，以商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m三者为自变量的效用函数形式有两类：一类是仅以消费束X为自变量的“直接效用函数”U（X）；另一类是以商品价格向量P和消费者预算约束m两者为自变量的“间接效用函数”v（P,m）。

直接效用函数U（X）的思想是：只要消费者购买（消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量(如价格向量P)如何置定或变动），消费者的偏好或效用大小便唯一地确定。即，确定的消费束X对应确定的效用函数值U（X）。

间接效用函数v（P,m）是建立在仅以消费束X为自变量的直接效用函数U（X）的基础之上的。其思路是：只要消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者一定，消费者在PX=m约束下，最大化其直接效用函数U（X）的值，此时的最大U（X）值即是间接效用函数v（P,m）的函数值。需要特别指出的是，消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者确定，消费者最大化其效用水平的购买消费束X并不要求唯一确定（虽然大多数时候是唯一确定的），但这些不同的向量X所对应的直接效用函数U（X）的值却必须是唯一的“最大值”。

从直接效用函数U（X）的定义，和间接效用函数v（P,m）函数的建立及求解过程我们可以发现，两类效用函数在本质上是完全相同的。间接效用函数v（P,m）是建直接效用函数U（X）的基础之上的。即：无论是直接效用函数U（X），还是间接效用函数v（P,m），只要消费者最终消费的商品数量束X一定，消费者便有确定的效用水平。对于直接效用函数U（X）而言，自变量X对因变量U（X）有“直接的决定作用”，这也是U（X）被称为“直接效用函数”的原因。对于间接效用函数v（P,m）而言，自变量P和m对因变量——效用水平的决定作用，实际上必须通过消费者最终消费的、确定的商品数量束X（或商品数量束集合）来完成。所以，自变量P和m对因变量——效用水平是起“间接性的决定作用”。其求解过程表明，效用水平的大小实际仍由消费束X直接地决定。这也就是v（P,m）为什么被称为“间接效用函数”的原因。

2 边际效益递减是经济学的一个基本概念，它说的是在一个以资源作为投入的企业，单位资源投入对产品产出的效用是不断递减的，换句话，就是虽然其产出总量是递增的，但是其二阶倒数为负，使得其增长速度不断变慢，使得其最终趋于峰值，并有可能衰退。

最明显的诠释，就是非线性函数，例如二次曲线。

在生活中，我们可以看到许多例子：给你一个可爱多，你高兴的乱跳以为赚了，接下来是第二个……可是一直给你，你会觉得开始恶心了。这有两个原因：一，你吃饱了，生理不需要了，二，你吃腻了，刺激受够了。你希望有个机会表白自己“老大，给个哈根啊好啊？”

所谓的新官上任三把火，讲的也是这个道理：刚来了要混个脸熟，所以拼尽全力在所不辞。日子一久，也就淡了。一般的教材会这样解释：神秘莫测的心理学和社会学。

如果我们建立一个映射，使得各种效用是可比的（比如，我们定义跑得快比跑得稳好，这并非没有意义，赛车界就是个例子），那么在一个时间序列上，投入和产出（以及累积投入和累计产出）就可以作为模型。通过上面两个例子可见，这个概念可以理解成两个特点：一，t=0比t->无穷时候的产出大的多（这是序列函数的像）。二，t->T和t->T+1在T->无穷时候的变化不大（这是像的一阶倒数）。前者说明总体趋势递减，后者说明递减速度趋缓。

我们可以想想，边际效用递减式一个无处不在的规律，你想过四级，于是找了本宝书，从A背起，不错，一会儿就背完呢（当然，本来A就不太多，我就是这种人），然后是B，然后是……B part2，然后是B part 2 1/2级数的概念有了应用。当然你可以选择从Z开始背回头（当然，我也是这种人）。

可见，投入和产出是相同的概念，由于投入了就要求有产出，所以边际效益递减的逆仍然适用。

我们可以拓展到离开效用这个概念。让我们看一个实际中的问题：

昨天打扫房间卫生，发现刚刚擦过的桌子一层灰又上去了，和旁边的一个小支架看上去没什么区别。实际上，后者上次被美容的时候我还没在南京……

一个东西从干净到涨很快，可是从脏到很脏是一个多么漫长的过程阿，指望考古队？（尽管也有评价的因素）

大家还可以想到很多很多，比如，人文一点，“失去的才是真”。

我们如何利用这个规律呢？经济学的解释是资源的最优配置。因为投入的太多使得最终的收益摊的太薄。再好的东西也有个限度。理工科的更加清楚，所谓的各种高级操作都是某种程度上的吃力不讨好，最有效的往往是那些基本操作。更高深的是当然一些数学上的游戏。

然而我觉得，这个现象的起源绝对是一个哲学问题，那就是我们为什么进步和发展。

想想，如果边际效益递增，我们还需要创新吗？我们还需要坚持吗？同志们，可爱多足够了，不，凉水就行！魅力这个词，永远的就失去了意义。

拉各朗日：

L=2X + 2Y +XY + 8 - a (5X + 10Y - 50 )

将其最大化，

2+y-5a=0

2+x-10a=0

5X + 10Y = 50

所以

x=6

y=2

a=08

所以货币边际效应时 08 = dU/d货币

这里货币是50

最大效应= 36