设函数y（x）由参数方程x＝t3+3t+1y＝t3?3t+1确定，求曲线y=y（x）向上凸的x取值范围

由题意，y′(x)＝

dy dt

dx dt

＝

3t23

3t2+3

＝

t21

t2+1

∴y″(x)＝

dy′(x)

dt

dt

dx

=

4t

(t2+1)2

1

3t2+3

=

4

3

t

(t2+1)3

∴要使得曲线y=y（x）向上凸，则有y″（x）＜0

即

4

3

t

(t2+1)3

＜0，即

t

(t2+1)3

＜0

∴t＜0

又

dx

dt

＝3(t2+1)＞0

∴x对t是单调递增的

∴当t＜0时，x＜x（0）=1

就曲线y=y（x）向上凸的x范围是（-∞，1）

由（2），得

dy

dt

＝

1lnt

t2

；   

由（1），得

dx

dt

＝

1

t

lnt+(2lnt)

1

t

＝

2

t

．

∴

dy

dx

＝

dy/dt

dx/dt

＝

1lnt

2t

．

∴

d2y

dx2

＝

d(dy/dx)

dt

dt

dx

＝

1

2

1 t ．t(1lnt)

t

1

2 t

＝

lnt2

2t

t

2

＝

lnt2

4

．

因为

x＝t2+2t y＝2t3+3t2

，

所以

dx

dt

＝2t+2，

dy

dt

＝6t2+6t，

所以

dy

dx

＝

dy dt

dx dt

＝

t+1

3t2+3t

，

所以

d2y

dx2

＝

d

dx

(

dy

dx

)＝

d

dt

(

dy

dx

)

dt

dx

=

d

dt

(

dy

dx

)

1

dx dt

=

3t2+3t(6t+3)(t+1)

(3t2+3t)2

1

6t2+6t

=

3t26t3

2×27(t2+1)3

=-

(t+1)2

18(t2+1)3

．

故答案为：

(t+1)2

18(t2+1)3

．

由于

dx

dt

＝f″(t)，

dy

dt

＝tf″(t)

∴

dy

dx

＝

dy dt

dx dt

＝t

∴

d2y

dx2

＝

d

dx

(

dy

dx

)＝

d

dt

(

dy

dx

)

dt

dx

＝

dt

dx

=

1

f″(t)

∴

d3y

dx3

＝

d

dt

(

1

f″(t)

)

dt

dx

＝

f″′(t)

[f″(t)]3

由：

x＝t3+3t+1 y＝t33t+1

，

得：

y′＝

dy dt

dx dt

＝

3t23

3t2+3

＝

t21

t2+1

=1

2

t2+1

，

∴y″＝(y′)′＝

dy′

dt

dt

dx

=

d

dt

(1

2

t2+1

)

1

dx dt

＝

4t

(t2+1)2

1

3(t2+1)

=

4t

3(t2+1)3

，

令：y″＜0，得：t＜0 

又x=t3+3t+1是单调递增的，并且当t＜0时，x＜1，

∴曲线y=y（x）向上凸的x取值范围为（-∞，1）．

作变量替换x=et或t=lnx，

则：

dy

dx

＝

dy

dt

dt

dx

＝

1

x

dy

dt

，①

d2y

dx2

＝

1

x2

dy

dt

+

1

x

d2y

dt2

dt

dx

＝

1

x2

[

d2y

dt2

dy

dt

]，②

将①，②代入原方程，原方程可化为：

d2y

dt2

+3

dy

dt

+2y＝0，③

③是一个常系数齐次微分方程，

它的特征方程为：

λ2+3λ+2=0，

解得：λ1=-1，λ2=-2，

于是方程③的通解为：

y＝c1et+c2e2t，

将t=lnx代入上式，得原方程的通解为：

y＝

c1

x

+

c2

x2

．