如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG=

1

2

PC=

m

2

．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO=

OA

GO

＝

2 2

m 2

＝3

2

，即m=

1

3

．

所以，当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3

2

．

（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时

因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．

∵∠BOG:∠DOG＝1:5 且射线OG垂直于PO

∴∠BOG=1/590°=18°

∴∠COB=180°-18°-90°=72°

∵∠CPN比∠COB的两倍小60°

∴∠CPN=72°2-60°=84°

思路分析:本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查运用向量知识解决数学问题的能力

解:(1)连结AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点G,连结OG,因为PC∥平面BDD1B1,平面BDD1B1∩平面APC=OG,

故OG∥PC所以OG=PC

又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面BDD1B1,

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角

在Rt△AOG中,tan∠AGO=,即m=

所以,当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为

(2)可以推测,点Q应当是A1C1的中点O1,因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A,所以D1O1⊥平面ACC1A1

又AP平面ACC1A1,故D1O1⊥AP

那么根据三垂线定理,知D1O1在平面APD1上的射影与AP垂直