欧拉公式

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有， 复变函数中的欧拉幅角公式--将 复数、 指数函数与 三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉 多面体公式；初等数论中的 欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如 分 式公式等等。

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

拓扑公式的意义：拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。

欧拉定理

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“世界上最伟大的十个公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式，这种公式被称为世界上最完美的公式，下面就来跟随我解开其神秘面纱吧。

世界上最伟大的十个公式： 欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式

一、世界上最完美的公式

欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

该公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。” 虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

理由如下：

1、自然数的“e”含于其中。 自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？

2、最重要的常数 π 含于其中。 世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？ (还有π和e是两个最重要的无理数！)

3、最重要的运算符号 + 含于其中。 之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算，乘法是累计的加法……

4、最重要的关系符号 = 含于其中。 从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。

5、最重要的两个元在里面。零元0 ，单位1 ，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。

6、最重要的虚单位 i 也在其中。 虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。 之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。 有了加号，可以得到其余运算符号； 有了0，1，就可以得到其他的数字； 有了 π 就有了圆函数，也就是三角函数； 有了 i 就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔的 4 元数，现实的空间与其对应； 有了 e 就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。

运用于三角形中： 设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=r＾2-2rr

运用于拓扑学里： v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系 v+f-e=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

运用于初等数论里： 欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子： 如果n的标准素因子分解式是p1^a1p2^a2……pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

世界上最伟大的十个公式

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