刘嘉概率论22讲《五， 概率问题，定义问题比计算更重要》

概率计算的三个法则

一，排列组合法则

二，加法法则

三，乘法法则

排列组合法

适用于结果有限，而且每种结果都是等可能性的情况。

计算方式很简单，比如掷骰子出现 2个概率是多少，是六分之一。

不过要注意的是，随机事件出现的次数除以所有可能的结果的个数，是，所有可能的结果。

举个例子，如果生男生女是等概率的，朋友家先后要了两个小孩，请问，都是男孩的概率是多大。

正确答案是四分之一，结果有 男男，男女，女男，女女

女男和男女虽然都是一男一女，但他们不一样，他是两种结果。排列组合，就是排列和组合，排列是要分先后顺序的

大部分这类的概率问题，考的都不是你的计算能力，而是排列组合的能力，看你能不能把所有的情况都排出来。

加法法则

如果说排列组合法则是针对于单个随机事件的概率计算，加法法则针对的就是多个随机事件

一个随机事件发生或者另一个随机事件发生的概率，也就是这两个随机事件发生其一的概率，等于两个随机事件各自发生概率的和。

三个随机事件，就是三个概率之和，4个随机事件，就是4个概率之和

举例说明，某运动员，获得冠军概率是20%获得亚军概率是15%，那么他闯进决赛的概率就是冠军的概率加上亚军的概率就是35%

加法法则有个限定，就是两个随机事件不能同时发生，比如上面的例子，他不能即得冠军又得亚军

举个反例，天气预报说，周六下雨的概率是50%周日下雨的概率是60%那周末两天下雨的概率是多少呢？

是两个加起来吗 那就是110%了， 概率在0-1之间，不可能大于1，所以这是不对的。

周六和周日下雨是不互斥的，他们可能同时发生，还存在周六周日都下雨的情况，所以结果是，用加法法则得出的结果减去周六周日都下雨的概率好了 。

110-50=60

乘法法则

乘法法则也是针对于多个随机事件的概率计算，加法法则是两个随机事件发生其一的概率，将两个随机事件各自发生的概率相加。

而乘法法则是两个独立事件同时发生的概率，将两个随机事件各自发生的概率相乘就好了。

比如，问，两个男明星同时想你表白的概率是多少，就用乘法法则，等于两个人单独表白的概率相乘。

乘法法则必须运用于独立事件

概率计算真正困难的是定义问题

大部分人不会做概率题，不是他不会计算，而是他没看明白题目。

举个例子，看到飞机失事的新闻后，有些人经常开玩笑，从概率学的角度来说，下一班飞机更安全，因为如果飞机失事的概率是百万分之一，那么飞机连续两次失事的概率就是百万分之一相乘，也就是万亿分之一。

你可能要笑了，这不是典型的赌徒谬误嘛，一般人认为，赌徒谬误产生的原因是人们没有弄懂独立性。

但我要告诉你，即使弄懂了独立性，知道两个航班相互独立，很多人还是会算错，因为这些人对现实问题“翻译的不对”题目混淆了“飞机失事两次的概率”和“飞机再次失事的概率”注意，两个看起来差不多的的问题，其实差别很大。

一件事发生两次的概率是什么？简单的说，就是你要扔两次硬币，问两次都是正面的概率是多少，结果是四分之一，换成飞机失事的例子中，飞机连续失事的概率，就是飞机失事的概率相乘确实是万亿分之一。

而一件事再次发生的概率呢，是已经扔了一次硬币，正面朝上，问下一次还是正面的概率是多少，我们都知道，抛硬币是独立事件，再次发生的概率不受前面结果的影响，结果自然还是二分之一，换成飞机失事的例子，一架飞机失事后，再次失事的概率也就是普通飞机失事的概率，还是百万分之一。

你看，现实问题的翻译不同，概率计算的方式就不同，我们说的是，再一次飞机失事的概率，但你计算的是，连续两次飞机失事的概率，当然不能反应现实问题，必然会出错。

正确的翻译现实问题，食概率计算最复杂的地方，概率思维核心，就是准确地将现实问题转换成对的概率问题。

附，评论区优秀评论

周六下雨周日不下雨 50%（1-60%）=20%

周六不下雨周日下雨60%（1-50%）=30%

周六周日都下雨50%60%=30%

周六周日都不下雨 20+30+30=80% 或（1-50%）(1-60)=20%   1-20%=80%

（1）按乘法口诀表中的行教．如,2的乘法口诀是：一二得二、二二得四、三二得六,……；算式是2×1,2×2,2×3,……．

（2）按乘法口诀表中的列教．如,2的乘法口诀是：二一得二,二二得四,二三得六,……；算式是 1×2,2×2, 3×2,……．

用“小九九”教学,有如下三种顺序：

（1）按乘法口诀表中的行教．如,2的乘法口诀,就是“一二得二,二二得四”两句；使用的算式一般是 2×1, 2×2．

（2）按乘法口诀表中的列教．如,2的乘法口诀是：二二得四,二三得六,二四得八,……；使用的算式一般是2×2,3×2,4×2,……．

（3）把上述两种方法结合起来教．如,2的乘法口诀是：一二得二,二二得四,二三得六,二四得八,……．使用的算式一般是2×1,2×2,2×3,2×4,……．

表内乘法的算式按被乘数归类,如被乘数是2的,被乘数是3的……,易使学生根据乘法的意义,掌握口诀的规律．因此,教学中一般采用“大九九”的第一种顺序,“小九九”的第一种或第三种顺序．“小九九”的第一种教学顺序,开始口诀少,容易教,但随着被乘数增大,口诀逐渐增多,难度也增加,后学的部分内容多,反复的机会少．“小九九”的第三种教学顺序,每一组乘法口诀都从1至9,类似“大九九”,但采用的仍是“小九九”的口诀,开始新学的口诀多,但随着被乘数增大,新口诀逐渐减少,大部分内容有较多的反复练习的机会．

表内乘法是乘法教学的重点．教学时,要在同数连加的基础上,讲清口诀的来源、每句口诀的组成和口诀的编排规律．通过多种形式的练习,使学生熟记口诀,并要他们注意口诀和乘法算式的联系．特别是“小九九”,一句口诀可以表示两个乘法算式（两个相同数相乘的情况除外）,如二三得六,可以计算3×2=6和2×3=6．

39×11等于429。这是一个关于乘法的算式，可以把该算式分为两部分，即39乘以10和39乘以1，将两个算式分别进行计算，即可得到结果，分别为390和39，再将两个结果相加，即可得到算式结果429。

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，x是乘号。四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

一、加法减法竖式格式如下：

二、乘法竖式如下：

看被除数是否是除数的整十倍数（如10倍，20倍，30倍）；若是，则直接写出除式。例如：50÷5＝10。

若被除数不是除的的整十倍数，分拆被除数，折分成除数的整十倍数与另一个数的和；

计算：分拆出来的两个数分别与除数相除，然后合并商得出结果。

扩展资料：

列竖式笔算有两个要点：相同数位对齐，从个位加起。（不进位可以先加十位，但是为以后的进位加法着想，不提倡）。在练习本上的格式严格按以下要求来进行：

1、算式的横式从数学本横格线的左端开始写；

2、竖式：第一个加数写在横式第二个加数下面，加号与横式中的加号对齐，加数、加数、和，三者的相同数位一定要对齐。

乘法运算定律：

1、乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。

用字母表示：a×b=b×a。

2、乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。

3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。

扩展资料

1、乘法分配律的理解：以上几个算式应注意利用乘法的意义进行理解： a ＋ b 个 c 等于 a 个 c 加上 b 个 c ，而不能单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。

2、乘法分配律的实质与特点：    实质：利用乘法的意义将算式转化为整十、整百数的乘法运算。   特点： 两个积的和或差， 其中两个积的因数中有一个因数相同； 或两数的和或差乘一个数。

3、运用乘法交换律、乘法结合律简化运算的实质与算式特点实质：把其中相乘结果为整十、整百、整千的两个因数先相乘。通常利用的算式是：2 × 5 ＝ 10 ； 4 × 25 ＝ 100 ； 8 × 125 ＝ 1000 ； 625 × 16 ＝ 10000 ； 25 × 8 ＝ 200 ； 75 × 4 ＝ 300 ； 375 × 8 ＝ 3000。

4、在乘法算式中，当因数中有 25 、 125 等因数，而另外的因数没有 4 或 8 时，可以考虑 将另外的因数分解为两个因数相乘、 其中一个因数为 4 或 8 的形式， 从而利用乘法交换律、 乘法结合律使运算简化。

5、在乘法算式中，如果其中两个因数的积为整十、整百、整千数时，可以运用乘法交换 律、乘法结合律来改变运算顺序，从而简化运算。

-乘法运算定律

96×2等于192。这是一个关于乘法的算式，可以把该算式分为两部分，即90乘以2、6乘以2，将两个算式分别进行计算，即可得到结果，分别为180和12，再将两个结果相加，即可得到算式结果192。

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，x是乘号。四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

乘法算式有2 × 2 =、 5 × 7 = 、3 × 2 =、2 × 7 = 、5 × 2 = 、3 × 2 =、 4 × 4 = 、5 × 2=、4 × 7 =、 5 × 9 = 、3 × 9 = 、3 × 6 =、 4 × 2 =、 3 × 7 = 、4 × 2 =、 5 × 9 =。

一位数乘一位数用乘法分配律计算，可以把一个乘数用加法表示，如：8=1+7=2+6=3+5=4+4。

一位数乘以一位数就是：38=3（2+6）=32+36=6+18=24。

九九归一的公式要背熟，基本上的算式都是安加减乘除，还有就是口诀，在算数中有括号的要先算括号里的，在算括号外的，没括号的要先算乘除后算加减。

乘法算式读法：

例如：乘法算式：5×6=30。读作五乘以六，等于三十。——读法时，一般用汉字，而不用阿拉伯数字。5×6表示的含义是：五个“6”相加，或者是六个“5”相加。

乘法具有“交换律”。5×6就等于6×5，所以在读法上，也可以读作五乘六或六乘五，不用“乘以”也可以。

把乘数25和49分别写在表格的上面(从左到右)和右面(从上到下)；把每一个方格都用斜线分成两部分；把上面的每一个数字与右面的每一个数字相乘，其积写对应的方格里(左上角为高位；右下角为低位，如5×4=20，就把2写在左上角，0写在右下角；2×4=8，就把8写在右下角)；最后把每一斜行的数加起来。

25×49=1225。