海伦公式是怎么得来的？

扩展资料：

我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”（即海伦公式）。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。

三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积

三角形面积计算方法如下：

1、通过底边和高的关系计算：

三角形的面积等于底边（b）乘以高（h）再除以2，即面积（A）=(bh)/2。其中，底边是三角形的任意一边，高是从底边到与底边垂直的另一边的距离。

2、通过三边长度计算（海伦公式）：

如果已知三角形的三边长度分别为a、b、c，可以使用海伦公式计算三角形的面积。海伦公式的形式如下：面积（A）=√s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s是半周长，计算公式为s=(a+b+c)/2。

这两种方法可以适用于不同类型的三角形，包括一般三角形、等腰三角形和直角三角形等。需要注意的是，在计算三角形面积时，长度单位应保持一致，例如全部使用厘米、米或英尺等单位。

3、通过正弦关系可以计算三角形的面积：

正弦定理：对于一个三角形，如果已知其中一个角的度数和与其对应的边的长度，可以使用正弦定理计算三角形的面积。

正弦定理的形式如下：面积（A）=05absin(C)，其中a和b分别为已知角C对应的两条边的长度，C为已知角的度数，sin表示正弦函数。

假设有一个三角形，已知其中一边的长度为5厘米，另一边的长度为8厘米，夹角的度数为60°，现在要计算其面积。使用正弦定理计算：已知边a=5厘米，边b=8厘米，角C=60°。面积（A）=05absin(C)=0558sin(60°)≈1039平方厘米。

三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。

常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

1、三角形(一般三角形，海伦公式)

周长L = a + b + c(a,b,c为三角形的三个边的长，下同)

面积S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，p = (1/2)(a + b + c)

2、长方形

周长L = 2(a + b)(a,b为长方形相邻边的长，下同)

面积S = ab

3、正方形

周长L = 4a

面积S = a^2

4、梯形

周长L = a + b + c + d(a:上底，b:下底，c,d两个腰的长,下同)

面积S = (1/2)(a + b)h(h:梯形的高)

5、圆

周长L = 2πr(π:圆周率，r:圆的半径，下同)

面积S = πr^2

海伦公式

的几种另证及其推广

关于

三角形

的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的

对边

，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p

=

(a+b+c),则

S△ABC

=

aha=

ab×sinC

=

r

p

=

2R2sinAsinBsinC

=

=

其中，S△ABC

=

就是著名的海伦公式，在

希腊

数学家

海伦的

著作

《测地术》中有记载。

海伦

公式

在解题中有十分重要的应用。

一、

海伦公式的变形

S=

=

①

=

②

=

③

=

④

=

⑤

二、

海伦公式的证明

证一

勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC

=

aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x

=

y

=

ha

=

=

=

∴

S△ABC

=

aha=

a×

=

此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，

若BD=u，DC=v,AD=t则

t

2

=

证明：由证一可知，u

=

v

=

∴

ha

2

=

t

2

=

－

∴

S△ABC

=

aha

=

a

×

=

此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形②

S

=

可知，运用余弦定理

c2

=

a2

+

b2

－2abcosC

对其进行证明。

证明：要证明S

=

则要证S

=

=

=

ab×sinC

此时S

=

ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

分析：考虑运用S△ABC

=r

p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C

=180○那么

tg

·

tg

+

tg

·

tg

+

tg

·

tg

=

1

证明：如图，tg

=

①

tg

=

②

tg

=

③

根据恒等式，得：

+

+

=

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z)

=

xyz

④

如图可知：a＋b－c

=

(x+z)＋(x+y)－(z+y)

=

2x

∴x

=

同理：y

=

z

=

代入

④，得：

r

2

·

=

两边同乘以

，得：

r

2

·

=

两边开方，得：

r

·

=

左边r

·

=

r·p=

S△ABC

右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理

半角定理：tg

=

tg

=

tg

=

证明：根据tg

=

=

∴r

=

×

y

①

同理r

=

×

z

②

r

=

×

x

③

①×②×③,得：

r3

=

×xyz

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明

与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

最后的等号部分可用因式分解予以导出。