热传导方程式的扩散方程

在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及

在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。 或者

在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作P。 不同情况下的方程式：

或者

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的机率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：

它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是：

随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

在t=0时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作 （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是 。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t

热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。

热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。

根据傅里叶定律,K=Qh/（△tS）。

Q是加热的功率，就是你加热内墙温度在140度时向外传的热量，K是导热系数，h是厚度，S是面积．想你这种情况只能是假设热量完全传导，知道加热功率，计算出△t,然后就可以算出另一端的温度。

相关介绍：

傅里叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。1780年起就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后于1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。

傅里叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。

   有很多人都说，学习有什么用，考上了大学有什么用，最后不还是找不着工作的一大堆么？现在每年的大学生越来越多了，还不如早点的出去走向社会，多一些社会经验，好能懂得更多一些，还会有人说，有好多的学习好的人，只顾着学习，连对象都没有。学习都学傻了，

可是，现在我却想和大家说，学习好并不是没有用的，学习好的人，情商也相对也许会高，只有学得好，懂得多，以后走向社会，才能更好的去找工作，是我们调工作，而不是工作挑我们，而且学习好的人，表达喜欢的方式也不同，

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第二行是这样写的Mg＋ZnSO4＝Zn＋MgSO4意思是你的美偷走了我的心，也许是年前无知。那个小女孩当时觉得这是个很浪漫的事请，很感动，所以，同意了他们两个在了一起。这就是我觉得其实学好一门学科也很重要，可以帮助你做成很多事情！

考虑以下基本假设：①忽略流体的动能；②热弥散与溶质弥散类似；③发生在流体与孔隙介质中的热传导是同时的；④坐标系与含水层各向异性的主轴方向一致；⑤热辐射可以忽略；⑥流体黏度变化的热效应可以忽略；⑦比热和导热系数均为常数；⑧流体相与固相物质总是处于热平衡状态；⑨压力变化引起的焓变化可以忽略；⑩多孔介质变形的热效应可以忽略。

在上述假设条件下，以温度为控制变量的传热方程写为（Kipp，1987）

地下水运动方程

式中：T为含水层的温度，℃；Ts为源汇项的流体温度，℃；ρm为介质固相密度，kg/m3；cf，cm分别为流体相和固相的比热，J/kg·℃；λf，λm分别为流体相和固相的热传导系数，W/m·℃；I为三维单位向量；DH为热的机械弥散系数张量，W/m·℃；qH为热源强度，W/m3。注意流体源汇项的温度和密度取值。

直接的热传导和弥散项可以进行合并，引入如下定义的传热导系数：

地下水运动方程

式中：Dij为传热系数张量（W/m·℃）的分量；δ为狄拉克符号：δij＝1，i＝j，δij＝0，i≠j。这样，传热方程可以改写为

地下水运动方程

式中：D为传热系数张量，W/m·℃。

在假定热弥散与溶质弥散类似的条件下，热弥散系数可以表示为

地下水运动方程

式中：DS，ij是溶质弥散系数，m2/s；αL和αT分别为纵向与横向热弥散度，m，假定在热弥散方面具有各向同性。

一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(V) 给出。假设q有个密度Q(t,x)，于是 热流是个依赖于时间的向量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

其中n(x) 是在x点的向外单位法向量。

热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

温度在x点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 κ (x)。 将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

注记：

系数 κ(x) 是该材料在x点的比热×密度。 在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。 在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由 定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。