高数函数化简？

高数函数化简问题：

1、 这一步是怎么化简：看图中画圈部分，将0代入得2。

2、写详细一点的过程，见上图。利用商的极限运算法则。

这道高数题，关于高数函数化简，其详细的步骤见上。

解：

设注入水的体积V与注水高度h的关系为：V=(r²πh)/3，而根据题意我们有：r/h=1/2 → r=h/2

∴V=(h³π)/12

两边对时间t求导，有：

dV/dt= [(π/4)·h²]·(dh/dt)

根据题意，有dV/dt=4，于是可知此时水深增速与h的关系为：

dh/dt=16/(πh²)

于是水深加速度为 d²h/dt²=-32/(πh³)

当h=5时，有d²h/dt²=-32/(125π)

所以此时加速度为 -32/(125π)m/s²

三（2）等价变化 =x^2(x/2)/[x³]=1/2 说明x->0 时arctanx，ln(1+x),sinx 等价于x

1-cosx=2sin²(x/2)等价于x²/2

(3) t=1-x t->0 limt sin(π/2-πt/2)/cos(π/2-πt/2)=lim(2/π)[(πt/2)/sin(πt/2)]cos(πt/2)=2/π

(5) x->0- e^(1/x)->0 arctan(1/x)->(- π/2) 左极限=π/2

x->0+ e^(-1/x)->0 arctan(1/x)->(π/2) 右极限=π/2

注：e^(1/x)+1/e^(1/x)-1=1+e^(-1/x)/1-e^(-1/x)

左极限=右极限=π/2 原极限存在=π/2

四 x=0 f(x)=0

x>0 lime^(-nx)=0 f(x)=lim [xe^(-nx)+x^2]/[e^(-nx)+1]=x^2

x<0 lime^(nx)=0 f(x)=lim [x+x^2e^(nx)]/[1+e^(nx)]=x

x≠0 时f(x)连续

x->0+ limf(x)=0 x->0- limf(x)=0

x->0 limf(x)=0=f(0) 在0点连续

f(x)连续

五、夹逼定理 等式<[1+2++n]/[n^2+n+1]=[n^2+n]/[2(n^2+n+1)]->1/2

等式>[1+2++n]/[n^2+n+n]=[n^2+n]/[2(n^2+n+n)]->1/2

原极限=1/2

六 a(1)=2 a(n+1)=2+1/a(n) 显然a(n)>2

a(n+2)-a(n)=1/a(n+1)-1/a(n-1)=-[a(n)-a(n-1)]/[a(n+1)a(n-1)]

a(3)=12/5>a(1) ,a(4)=29/12<a(2)

可证明到{a(2n)}单调下降，{a(2n-1)}单调上升

还可以证明 a(2n+1)-a(2n)=1/[2+1/a(2n-1)]-1/[2+1/a(2n-2)]

=[a(2n-1)-a(2n-2)]/{a(2n-2)a(2n-1)[2+1/a(2n-1)][2+1/a(2n-2)]}

且a(3)<a(2) 可以证明a(2n+1)<a(2n)<a(2)

{a(2n)}单调下降有下届，极限存在 ,{a(2n-1)}单调下降有上届，极限存在

设lima(2n)=x lima(2n-1)=y

由a(2n)=2+1/a(2n-1) 两边取极限可得 x=2+1/y

由a(2n+1)=2+1/a(2n) 两边取极限可得 y=2+1/x

x-y=1/y-1/x=(x-y)/[xy] 可得到x=y

所以x=2+1/x 解得x=1+√2 或1-√2

由于a(n)>2 所以x>2 所以x=y=1+√2

所以liman=1+√2

和函数常用公式高数如下：

1、数学公式：抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py。直棱柱侧面积 S=ch。斜棱柱侧面积 S=ch。正棱锥侧面积 S=1/2ch。正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h。圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l。球的表面积 S=4pir2。

2、圆柱侧面积 S=ch=2πh。圆锥侧面积 S=1/2cl=πrl。弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0。扇形面积公式 s=1/2lr。锥体体积公式 V=1/3SH。

圆锥体体积公式 V=1/3pir2h。斜棱柱体积 V=SL 注：其中，S是直截面面积， L是侧棱长，柱体体积公式 V=sh。

对数函数基本性质：

1、过定点(1,0)，即x=1时，y=0。

2、当 0<a<1 时，在(0，+∞)上是减函数;当a>1时，在(0，+∞)上是增函数。

3、对数函数是非奇非偶函数（无论增函数还是减函数都一样），它的反函数指数函数同样也是非奇非偶函数。