小学奥数知识点《数论问题》

一、数论

1奇偶性问题

奇+奇=偶奇×奇=奇

奇+偶=奇奇×偶=偶

偶+偶=偶偶×偶=偶

2位值原则

形如：abc=100a+10b+c

3数的整除特征：

整除数特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各数位上数字的和是3的倍数

5末尾是0或5

9各数位上数字的和是9的倍数

11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25末两位数是4(或25)的倍数

8和125末三位数是8(或125)的倍数

7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数

4整除性质

①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5带余除法

一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r

6分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1×p2××pk

7约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2××pk那么：

n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)

n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk)

8同余定理

①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)

②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9完全平方数性质

①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。

④平方和。

10孙子定理(中国剩余定理)

11辗转相除法

12数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

首先考虑m为素数的情形

若5或11中有一个modm的二次剩余，不妨设为5

I={r1,r2,r[(m+1)/2]}为modm的所有二次剩余

由勒让德符号定义的运算（或二次剩余的欧拉判别法）知，r1为二次剩余时5r1亦为二次剩余

且5ri不同余于5rj，如果ri不等于rj

I1={5r1,5r2,5r[(m+1)/2]}为modm的所有二次剩余

即5x^可以取I1中任意值

易知1属于I

则方程5X²≡1（mod m）有解，再取y=0即可

若5或11都不是modm的二次剩余

r1为二次剩余（r1非0）时5r1和11r1为二次非剩余

即I2={5r1,5r2,5r[(m+1)/2]}为modm的所有二次非剩余和{0}的并集

下面应用反证法，若原方程无解

则I2/{0}中任意两元素和不为m+1

考虑下列（m-1）/2个集合

{2，m-1}{3,m-2}{(m-1)/2,(m+3)/2}和{(m+1)/2}

I2/{0}中（m-1）/2个元素皆取自此（m-1）/2个集合

若有一个集合中同时含有两个I2/{0}中元素

则方程5X²≡i（mod m）11Y²≡m+1-i（mod m）皆有解

原方程亦有解

若任一集合中不同时含有两个I2/{0}中元素

则(m+1)/2为I2/{0}中元素

方程5X²≡(m+1)/2（mod m）11Y²≡(m+1)/2（mod m）皆有解

原方程亦有解

以上证明了m为质数时方程有解

下面证明m为质数幂时方程有解

m=p^n,对指数n归纳（不考虑p=2，5，11时情形，这些情形的证明很容易）

n=k时成立，n=k+1时

5X²≡i+tp^k（mod m）

计x1=x,x2=x+p^n,x3=x+2p^nxp=x+(p-1)p^n

以上p个数代入方程左端modm两两不同余，

必有一j使xj满足5xj^≡i（mod m）

对于11同理，则n=k+1时亦得证

对于一般的m，对m进行质因数分解，

m=p1^a1p2^n2

计m1=p1^a1

m2=

(xi,yi)为5xi^+11yi^≡1（mod mi）的解

考虑一次同余方程组

x=x1(modm1)

x=x2(modm2)

(此处=为同余号)

由中国剩余定理

x有解

对y同理

于是（x，y）即为满足条件的解

初涉数论，如有漏洞请指出，欢迎切磋探讨。这道题真的很难，不知楼主是在哪里看到的？

m=1 k=1,2

m=2 k=1,2,3

m=3 k=1,2,3,4

m=4 k=1,2,3,4,5

猜想k<=m+1

想办法证明中。

2^3^m+1=(2^3^(m-1))^3+1用立方和展开就有一个2^3^(m-1)+1继续用立方和展开 可以发现最后一个展开为（2+1） 因此2^3^m+1的因式分解式中必定有（2+1）（(2^3^(m-1))^3+1）再乘以一堆式子

用数学归纳法即可。。。因为（2^3^(m-1))^3+1）就含有3^(m-2) 再乘以3就是3^(m-1)

它是一类数学定理。有很多。

我估计你是要问什么是同余。

同余是指如果a和b两个数除以一个相同的数，如果余数相同，

就说a,b同余。

比如10/4余2 14/4也余2 则称10，14模4同余2