时间序列的平稳性adf检验和白噪声lb检验的区别

一、DF检验

随机游走序列 Xt=Xt-1+μt是非平稳的，其中μt是白噪声。而该序列可看成是随机模型Xt=ρXt-1+μt中参数ρ= 1时的情形。也就是说，我们对式 Xt=ρXt-1+μt

（1） 做回归，如果确实发现ρ=1，就说随机变量Xt有一个单位根。可变形式成差分形式：Xt=(ρ-1)Xt-1+μ t =δXt-1+ μt

（2）检验

（1）式是否存在单位根ρ=1，也可通过（2）式判断是否有 δ=0检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型 Xt=α+ ρXt-1 +μt （）中的参数ρ是否小于1。或者：检验其等价变形式Xt=α+ δXt-1+μt（）中的参数δ是否小于0 。

零假设 H0：δ= 0；备择假设 H1：δ< 0 可通过OLS法估计Xt=α+ δXt-1+μt并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t < 临界值，则拒绝零假设H0：δ= 0 ，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。

二、ADF检验

在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验。

进行ADF检验要分3步：

1 对原始时间序列进行检验，此时第二项选level，第三项选None如果没通过检验，说明原始时间序列不平稳；

2 对原始时间序列进行一阶差分后再检验，即第二项选1st difference，第三项选intercept,若仍然未通过检验，则需要进行二次差分变换；

3 二次差分序列的检验，即第二项选择2nd difference ，第四项选择Trend and intercept一般到此时间序列就平稳了。

在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：

（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。

（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。

平稳信源和非平稳信源都是随机信号，区别在于特性和定义不同。

信源X具有有限符号集，信源X具有有限符号集合，信源产生随机序列 xii=,1,2,对所有i,j,hi,j,h，都有，p(xi1=aj1xiN=ajN)=p(xi1+h=aj1xiN+h=ajN)，p(xi1=aj1xiN=ajN)=p(xi1+h=aj1xiN+h=ajN)，则称信源为离散平稳信源，所产生的序列为平稳序列。

平稳与非平稳最直观的理解就是。平稳信源包含的信息量小，其统计特性随时间不变化，典型代表高斯白噪声和人类口腔中的浊音。这种信源的特点就是统计特性不变。而非平稳就不是了，就是统计特性随时间在变，它的信息量是变化的。

　　1、首先画出散点图。

　2、然后从散点图数据简单判断序列是否为平稳（不是围绕一个常数值做随机波动为非平稳，有明显的趋势或周期性。）

　3、然后就可判断数据是否是白噪声。正常来说，p值越大，是白噪声的可能性越大。

在datacamp网站上学习“ Time Series with R ”track

“Introduction to Time Series Analysis”课程 做的对应笔记。

学识有限，错误难免，还请不吝赐教。

白噪声模型是其他复杂时间序列模型的基础，也是最简单的平稳过程。

序列 是均值为μ，方差为 的弱白噪声过程（weak white noise process），记为“weak WN( )”,如果满足下列条件：

弱白噪声过程是弱平稳的，且有

如果 是独立同分布（iid）的过程，称其为独立同分布白噪声过程，记为iid WN

白噪声与平稳性：

如果 是独立同分布的 正态 分布随机变量，则称为高斯白噪声过程（Gaussian white noise process）。

类似地，如果 是独立同分布且满足自由度为ν的t分布的随机变量，则称为 白噪声过程。

由于 ，白噪声过程中既往的测量值无法提供可以用来预测未来测量值的信息。若 ，则对于 ,有

   

对于弱白噪声，以上结论不一定成立，但是给定 ,对于 的 最佳线性预测值 （best linear predictor）仍然是μ。

模拟一个均值为100，标准差为10的白噪声数据

运行后会得到：模型均值的估计为1012399，标准误10803；模型方差的估计为1167；log likelihood为-37987，AIC 为 76375

一个随机过程平稳表明该过程进入一种 稳态。

严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列 所有的统计性质 都不随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。

宽平稳又叫 二阶平稳 ，指的是序列协方差（又称“自协方差”）只跟时间区间 有关：

并且序列的均值函数（一阶矩）是常数（又称为是“一阶平稳”），序列的方差（二阶矩）是常数。例如白噪声就是宽平稳的。

宽平稳使用序列的特征统计量（各阶矩）来定义的一种平稳性，它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，只要保证序列 低阶矩平稳（二阶矩） ，就能保证序列的主要性质近似稳定。

严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，低阶矩存在严平稳能推出宽平稳成立，反之不成立。

正态过程是个重要的特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。 这是因为正态过程的概率密度由 均值函数和方差函数 完全确定，因而如果均值函数和方差函数不随时间推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

这一次的随机过程跟之前的随机过程的结果分布都一样，即一个随机过程并不会随实验次数的改变而改变（这里的一次实验为对该随机过程的一次采样）。体会一下变中存在不变，变指的是每一次的实验都是对一个随机过程的一次采样，因此每一次实验的结果都可能不同，样本是随机的；不变指的是不管做多少次实验采样得到的结果依旧服从原来的随机过程，随机过程确定。

举个例子，你和你的小伙伴们一起扔骰子，每次都一起扔，你们每次扔骰子呈现的结果分布都跟之前扔骰子的结果分布一样， 自相关函数 不随时间改变，不会随着扔多了手酸而发生改变。

随机过程平稳针对某一次具体的采样（观察信号从零时刻到T时刻的变化情况，若平稳则说明随机信号从零时刻到T时刻服从同一分布）；而各态历经研究的是对一个随机过程多次采样会有什么结果（不同次实验之间的比较，每一次实验是个时间序列）。

随机过程是对动态系统的一种描述方式，对系统状态随时间变化的一种建模，本质上也是研究信号与系统。一般地，一个随机过程只有是各态历经的才有研究的价值，如果不是各态历经说明系统存在扰动或者不确定性，需要做一些额外的假设或处理。

注意：一个过程是一个时间序列。 因此对一个随机过程采样一次，会采样出一个关于时间的序列。

平稳信号和非平稳信号都是随机信号，区别在于特性和定义不同。

随机信号是随机过程，其每个时间点都是一个随机变量。

如同你学概率论提到的 随机变量没有值的说法，它只有观测值，也就是说你对随机变量进行一次测量会得到一组值。

但是仅此而已，你如果想知道随机变量的真正特性，就要对其进行统计观测 比如大量测量，才能对其概率分布进行估计。

平稳与非平稳最直观的理解就是。

平稳信号包含的信息量小，其统计特性随时间不变化，典型代表高斯白噪声和人类口腔中的浊音。

这种信号的特点就是我说的统计特性不变。

而非平稳就不是了 就是统计特性随时间在变，它的信息量是变化的。