普朗克公式推导

普朗克的基本假设有以下内容：　・　（1）构成绝对黑体的物质看成是带电线性谐振子组成的系统。　（2）线性谐振子的能量不是连续的，而是量子化的。即￡　，　I＝nhy　：0，l，2，…，h　为普朗克常数，y为线性谐振子的振动频率。当线性谐振子从一个能量状态过渡到另一个能　，　量状态时，就吸收或辐射量子能量。　（3）各能量状态的线性谐振子遵从麦克斯韦——玻耳兹曼分布规律。线性谐振子能量是　o，　l，2￡l…，，　I，…的几率分别是o，e—　l／”，e一　I／KT，…，e一　l／　，…，其中k为玻耳兹曼　’　常数，丁为绝对黑体所处的平衡温度。　－普朗克按照他的量子假设，并应用经典统计理论求得在单位时间内，从温度为丁的黑体　单位面积上，在频率y—y＋dy范围内所辐射的能量为　＾，　‘　‘　J（y・T）dy＝　・而　・dy　这就是著名的普朗克公式。　在推导普朗克公式中，仅有线性谐振子能量量子化0，sl，2　I，…，”　I，…的假设是不能得　到普朗克公式的，还必须考虑到在达到热动平衡态时，处于上述各能量态的几率分布所遵从的　麦克斯韦——玻耳兹曼分布规律。　若以N0，N1，N2，…，＾k，…分别表示处于能量为0，　1，2　1，…，”　l，…的线性谐振子的数　目，那么N　／No＝e一　1／　，即N　＝N0e一　I／KT，n＝0，l，2，－　于是频率为　的线性谐振子的平均能量为　∑　∑N　（，　I／　）　＝　一＝　—————一　∑N　∑N0e—I／　＝0　＝0　（e一￡I／盯＋2e－2eI／盯＋3e－　／盯＋…）　一　。（1＋e—eI／盯＋e一　I／盯＋e一知i／盯＋…）　令－T＝E．／KT，则上式为　一　e－．r＋2e－2．r＋3e－　＋…　y一　I　1＋e－，r＋e一2x＋e一3　＋…　利用等比级数的公式，可以求得上式的分母　l＋e一　＋e－2a．＋e－3．r＋…＝　＝　将（3）式代人（2）式，得　（2）　（3）　一　；　＝一　I（e一　＋2e一　＋3e一。　＋…）（e一　一1）　把上式展开并化简得　；　＝一EI￣e－2x＋2e一。r＋3e一　＋…）一（e一　＋2e一　＋3e一。　＋…）］　＝E1（e一　＋e一2　＋e一土　＋…）　＝E1e－a（1＋e－a．＋e－2．r＋e—　＋…）　将式（3）代人上式得　一　，　1　、　l　l　I　El　I　・　‘　把EI＝h7和　＝　I／KT代人上式得　。　t＝　对由任意材料制成的空腔壁，其上的小孔皆可看作黑体。壁上线性谐振子所辐射的能量与空　间内某一频率的电磁驻波的能量是相等的。利用驻波条件可以求得，在体积在V的空腔中．　频率在　—　＋d　范围内的驻波数为　dN：　dv　C　所以在体积v中频率y一　＋dy范围的线性谐振子辐射的的能量为　dE＝d￣．　d7＝　d　如果以p（　．T）表示黑体辐射能量密度，那末在单位体积内，频率在y一　＋dy范围内的线性　谐振子辐射的能量　加．T）dy＝可dE＝　・南d7　（4）　如果以J（　．T）表示黑体的辐射密度，那么在单位时间内，从黑体的单位面积上，频率在y一　＋dy范围内的线性谐振子辐射的能量应与能量密度成正比，即I（　．T）d7＝Ae（　，T）d7　A为比例常数，其值可得为A＝c／4，c为光速，于是可得　J（　．T）d7＝音P（　．T）dy　把（4）式代人上式，得普朗克公式：　1（r．T）dy＝　・南dy　（5）　f。　……一l　若用波长＾代替频率　作参量，据f＝y．＾及　2　～　J（＾．T）d；t＝一J（y．T）d7和　＝一　dy　普朗克公式还可以写成：　m．T）d　＝　・　（6）　为了充分说明普朗克公式的正确性，可以导出在长波区，普朗克公式与瑞利——金斯公式是一　致的。　‘　在长波区k／KT＜＜I，若把e　／KT展成级数　e　＝－＋　＋吉（　）　－　略去二次项以后各项，代人（6）式得　J（　．T）　＝等KTd2　（7）　＾　这就是在长波区与实验吻合的瑞——金斯公式，普朗克公式与瑞利金斯公式相比较，两者的主　要差异在对谐振子平均能量的计算上。瑞利——金斯认为谐振子的能量是连续的，其平均值　遵守能量均分定理，为KT，即　＝KT　dE：dN．　：　KTd　，　P（　．1’）：a＿1＿EE，：　KTdy　、　再考虑I（　，T）和p（　．T）之间的关系，并用波长＾代替频率　作参量，就可得（7）式。　在短波内，k／KT》l，因而可将（6）式分母中的1略去，即　m．r，）　i丁2nhc2・　（8）　上式就是在短渡区内与实验吻合的维恩公式。　从以上的分析可看出，普朗克量子理论的胜利并不意味着经典物理学的失败，而是意味着　人类对物理学有了更深刻的认识。量子物理和经典物理都是在一定条件下的产物。新的理论　虽然对原有理论有重大突破，但又不能与原有理论中已经证实了的实验规律相矛盾。事实也　正是这样：普朗克的量子理论在一定条件下的近似，导致了瑞利——金斯公式和维恩公式，从　而肯定了这两个公式成立的条件和各自正确的部分。

1900年普朗克获得一个和实验结果一致的纯粹经验公式，1901年他提出了能量量子化假设：辐射中心是带电的线性谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量，谐振子的能量不连续，是一个量子能量的整数倍：

式中v是振子的振动频率，h是普朗克常数，它是量子论中最基本的常数。根据这个假设，可以导出普朗克公式：

它给出辐射场能量密度按频率的分布，式中T是热力学温度,k是玻耳兹曼常数。如图表示辐射场能量密度随波长变化的曲线，它同实验结果完全一致。

作为黑体的空腔内的辐射场，既可以分解为一系列单色平面波的叠加，又可看作是由光子组成的气体。光子的能量ε、动量p、波长λ和频率v之间遵从德布罗意关系ε=hv，

则有ε=сp，在p到p+dp的动量间隔内，光子的量子态数目为

其中V是空腔的体积。只有腔壁不断发射和吸收光子才能在辐射场中建立起热平衡，所以光子气体中的光子数就不恒定，这意味着光子气体的化学势为零。而且，光子彼此间没有相互作用,光子气体是遵从玻色分布的理想气体。于是，每个量子态上的平均光子数应为

这样容易得到普朗克公式。

普朗克公式在高频范围hvkT的极限条件下，过渡到维恩公式

此式表明,w(v,T)随着v的增加很快地趋近于零,也就是说在热平衡状态下，几乎不存在高频光子，这是因为高频光子的能量远大于kT，而腔壁发射这样高能量的光子的几率是极小的。普朗克公式在低频hv<<kT的极限条件下，过渡到瑞利－金斯公式，这正是以经典统计理论为基础的能量均分的结果。在瑞利-金斯公式中不出现普朗克常数h。可见，把h看作很小乃至零时，量子理论就过渡到经典理论。

普朗克通过对黑体辐射的深刻研究而建立起来的公式是物理学的一个重大突破，他首次提出的量子论，开创了理论物理学发展的新纪元。

物理学上空的两朵“乌云”

热力学泰斗开尔文男爵威廉·汤姆森，在物理学完善里传统力学三大体系（经典力学、经典电动力学、经典热力学），在一个演讲中说“在已经基本建成的物理学大厦中，后辈物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了……但是，在物理学晴朗的天空的远处，还有两朵小小的令人不安的乌云”

这便是当时两个物理学上还未解决的难题。它们分别是：

一、光的传播应该是有一种叫“以太”的介质；

二、黑体辐射实验结果，与理论预测不一致。

然后正是这两朵小小的乌云，动摇了传统物理学的地基，甚至开启了物理学冰山之下的探索——量子力学。

这两朵乌云，开启了两个分支

一、麦克尔-莫雷实验为了证实以太存在，但却发现光的传播不需要介质，且光速不变。后来爱因斯坦以此为基础，提出相对论。

二、黑体，即它不反射别的光，它发出的均来之它自身的光，太阳、烧红的烙铁、黑暗中的人体，这些都可近似为黑体。黑体发出的光是由它热量导致的，也就是热辐射。

物理学未能找到理论去解释黑体的发光曲线，普朗克通过拼凑公式的方法，找到了符合的“普朗克黑体公式”——E=hf，

其中f为频率，h为普朗克常数——h=6626x10^(-34)焦耳•秒

有了公式，如何去解释呢。普朗克通过研究，发现公式成立，得假设能量为不连续的，即能量具有一个最小单位——量子。

爱因斯坦在此基础上，发表了一篇《关于光的产生和转变的一个启发性观点》，提出了“光电效应”，获得诺贝尔奖——频率更高的光线，其单个量子所含能量更高。低频光的量子能量不足，无法在“光打金属”的实验中激发出电子。也就是光也是以量子形式来吸收能量，没有连续性，不能累积。

这个世界是由一个个量子组成，但是为什么在宏观的我们感受不到？因为量子足够小，就如同一台无比高清的电视机，通过一个个光点组成，远看就能形成连续的画面。

Θvdv=8Πhv

在物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律，英文：Planck's law, Blackbody radiation law）描述，在任意温度T下，从一个黑体中发射出的电磁辐射的辐射率与频率彼此之间的关系。

历史

马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。

其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。）。

维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。