怎样学好解析几何？

如何学好解析几何圆锥曲线？——圆锥曲线解题常规流程（完整文章，可百度）

解析几何是高考重要的考点，往往是一个高分值的大题带一两个选择或填空题，所占分值较高。解析几何中最流行的货币是坐标。学习解析几何，要善于将问题转化并化简，特别是很多时候要将条件及目标转化为坐标关系才能建立联系求解。

笔者以圆锥曲线为例，将解析几何问题常用的方法及流程阐述如下：

1、审题：审题就是要将所有条件尽量用符号或图表形式表现出来

(1)画图（数形结合）。要学会抓住重点画出简图。

(2)标量、设量（推算）。尽量将长度角度用简洁的单个字母表示，长度用小写英文字母，角度用小写希腊字母，便于识别和计算。

2、设点、设方程、设待定系数。需要形成一套符合数学体系的使用字母的习惯，注意新设的待定系数法不要与题目中已有的字母重复。

3、将已知条件和目标（如：面积、长度、角度、向量等关系）转化为坐标关系。这通常是题目的难点所在，许多时候，如果转化不了就不能破题。

常用方法：三角函数知识；正弦余弦定理；向量共线定理、向量数量积公式，等等。

有时候，也可以利用平面几何的方法，如全等三角形知识，相似三角形知识，等等。

4、根据目标要求联立方程。联立方程的目的是什么：

(1)求方程的根即点的坐标；

(2)求根与系数关系(如利用韦达定理，注意 > 0，≥ 0， = 0)

5、联立方程，层层消元。如果有多个方程，联立要注意相关性，消元要注意优先顺序。

有时常会利用分离变量法，找出目标变量与中间变量之间的等量关及不等量关系。

6、熟记圆锥曲线定义、常用公式、常规方法及常用解题流程，可以以知识卡片形式记录下来，并在训练时加以灵活运用。如：

7、利用中间变量与目标变量的关系，求目标变量的值或者范围或证明目标结论。

经常用的方法有：函数思想、基本不等式、导函数思想、分离变量法、分离常量法、换元法（三角替换法、参数法）、长除法、因式分解等方法。

8、注意答题策略。

比如，解答题的第一问如果不能求出来或证明出来。如椭圆方程等，我们可以用特殊值法先猜出曲线方程，继续做下面一问得分。

比如，如果遇到计算量大的步骤，可以暂时不做，先做计算容易的部分。可以节省时间提高解题效率。

…… ……

解析几何的解答题通常书写量大、计算量大、篇幅也较长。

想要学好解析几何，仅仅局限于课本是不够的，需要多加练习、选择性的练习、针对性的练习、系统的练习，练习后还要学会不断总结、归纳、反思，不断积累能够提高效率的解题经验。

书写能力和计算能力较弱的学生，更应该在提升书写的清晰度、简洁度、书写速度，提高计算的准度与速度等方面上狠下功夫。

高中时期空间几何问题有时会比较复杂，涉及到证明线面之间的垂直平行的关系或者求解点/线/面之间的距离，用传统证明方式有时需要有很强的空间概念，要考虑到很多共点共面的问题，必要时会借助一些辅助线。而借助解析几何的概念会使得空间几何数字化，简化解题流程及思考过程。例如证明不共面的AB与CD垂直时，传统办法会借助一些定理，例如直线与一个面垂直那么这条线就与这个面上所有的直线垂直等等，而利用解析几何时，只需构建合适的空间坐标系，然后计算AB向量×CD向量=0即可，无需考虑AB或CD所在平面。

以下是我个人总结的一点经验，你可以借鉴一下！

一、圆锥曲线题型的主要特点：一般来说解题思路比较简单，但运算量较为繁琐。因此要想攻破这类题型必须加强以下几个方面的能力：一是掌握解题基本的方法和常用公式；二是提高元算能力和总结一些简便运算的技巧；三是理解和运用主要的几大数学思想（即数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、转化思想和整体替换思想）；四是掌握一些常用的设点技巧（这是减少元算量的关键）。

二、高考试题中该类题型的分布位置：一般放在第四道大题的位置。它一般分为三个小题：第一小题一般是求点的轨迹（4分）；第二和第三小题是其它类型的题(如求定点、定直线、定距离、最值等问题），分别占5分。（设直线的方程是要注意斜率是否存在）

三、圆锥曲线的重点理论知识：(1)求动点轨迹的的基本方法：1、定义法（也称为直接法或几何法）：根据圆锥曲线的定义求即可（注意：此法应优先考虑）2、间接法:先设出动点的坐标，在根据已知条件寻找几个等量关系，再化简即可；3、交轨法：转化为其它曲线的交点轨迹；4、参数法：先用参数表示动点坐标的表达式，再消去参数即可。（2）椭圆的第二定义：若一动点到定点的距离与到定直线的距离的比小于1，则该动点的轨迹为椭圆。（该比值其实就是离心率，该定点为焦点，该直线为准线）（双曲线的第二定义与此类似，只需把比值改为大于1即可）（3）椭圆的焦半径公式：AF1=a-ex,AF2=a+ex;椭圆的焦三角形的面积公式：SpF1F2=b^2tan@/2;双曲线的焦半径公式：AF1=ex-a,AF2=ex+a;双曲线的焦三角形的面积公式：SPF1F2=b^2/tan@/2。（其中A为椭圆或双曲线上的点，x为A点的横坐标，e为离心率，@为F1pF2的角度）（4）若过抛物线y^2=2px的焦点的直线与抛物线交于A和B两点，设A（x1,y1)B(x2,y2),则有x1x2=p^2/4,y1y2=-p^2。(以上的结论最好自行推导一下）(5)当椭圆的焦三角形pF1F2的顶点p与短轴的端点重合时，角F1pF2的角度最大。（6）解圆锥曲线问题时常用的几个重要公式(务必要理解并牢记它，这是不会做这类题也可以拿到分的关键）：1、韦达定理：x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

2、弦长公式：d=（1+k^2)((x1+x2)^2-4x1x2)的值的算术平方根

3、中点弦公式（其作用主要是建立中点的坐标与直线斜率的关系）：1、直线与椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1)相交则k=(y1-y2）/(x1-x2)=-b^2x0/(a^2y0）

2、直线与双曲线（x^2/a^2-y^2/b^2=1)相交则k=b^2x0/(a^2y0) 3、直线与抛物线（y^2=2px)相交则k=p/y0

(其中A（x1,y1)和B(x2,y2)为两曲线的交点，而(x0,y0)为A和B的中点，k为直线的斜率） 圆锥曲线的题型大致可以分为以下几类：1、定点问题

2、定直线问题 3、最大最小值问题 4、定长或定距离问题 5、参数范围问题 6、与向量相结合的题型

(至于这几种题型的具体解题方法先让你自己通过练习大量的题来进行归纳总结，暂时不直接给出给你，因为只有通过你自己的思考再总结出来的东西理解才更加深刻，运用才更自如）（当然圆锥曲线的其它题型与方法还有很多，要靠你自己去挖掘，这里不便给出，也不可能给出，因为数学的题型是千变万化的，但也是非常有规律可寻的）

下面留几道题给你做练习

我个人觉得，最重要的是扎实的基础，对常见的函数的性质非常的清楚，尤其是要把握函数的图像，还要对具体的题目挖掘其中的隐含条件，很多时候，对题目“不感冒”，就是因为对其总的隐含条件没有完全了解，所以一个不是办法的办法就是 每读一句话，把你能想到的所偶结论都挖掘出，并且写在一旁，防止遗忘，一般说来，高中数学题目，尤其是高考题目，语句都是很精炼的，没有白给的条件，没有多给的条件，总之只要对近四年的高考题目有所研究，就可以有的放矢。

对于解析几何，说实话，每年都是难点，题目很好，很新颖，很不好做，我认为这种题目，只要经历而为，不饿你做过的题目和见过的题目类型弄清楚就可以保证你在考试中取得一个相对很高的分数，但绝不可轻易放弃，这种题目有两种题目，一种是一看就有方法，但是计算量很麻烦；还有就是用的方法很巧妙。总之一方面可以将强计算能力，另一方面就是掌握一些常见的方法，如 设而不求 等方法！

主要关系有：

(1) 平方关系

(sinx)^2+(cosx)^2=1

1+(tanx)^2=(secx)^2

1+(cotx)^2=(cscx)^2

(2) 倒数关系

sinxcscx=1

cosxsecx=1

tanxcotx=1

(3)商的关系

sinx/cosx=tanx

tanx/secx=sinx

cotx/cscx=cosx

扩展资料：

三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

基本公式

sin（2kπ+α）=sin2kπ cosα+cos2kπ sinα=0cosα+1sinα=sinα

cot（2kπ+α）=cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=-sinα

cot（π+α）=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα

sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα

sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα

sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα

cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα

sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα

sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα

sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=cotα

cot（3π/2+α）=tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=sinα tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2secα·cscα

sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=cscα+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

辅助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)] 

万能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]

参考资料：

-三角恒等式

-三角函数

笛卡儿（１５９６～１６５０）笛卡儿，法国数学家、物理学家，出生于法国安德尔—卢瓦尔省。

笛卡儿的最大贡献是创立了解析几何学。在分析了几何学和代数学各自的缺陷以后，他找出了把两者结合起来的方法，这就是解析几何学。笛卡儿的基本思想是，在平面上建立点的坐标，而一条曲线就可以由一个含两个变数的代数方程来表示。这样把一个几何问题通过坐标系归结为代数方程。用代数方程研究这个方程性质后，再翻译成几何语言，就得出几何问题的解法。笛卡儿用这种方法研究了具有两个变数的二次方程，并指出了这种方程一般表示椭圆、双曲线或抛物线。

解析几何学的建立使变数进入了数学，引起了数学的深刻革命，解决了生产和科学技术中的许多重大问题，大大促进了生产和科学技术的发展。

梦中的灵感

那是一个深秋的夜晚，年轻的士兵笛卡儿正躺在军用帐篷里。一缕月光透过帐篷的缝隙照射在床上，让笛卡儿想起了天上的繁星。怎么给天上的每一颗星星确定位置，这是个笛卡儿日思夜想而不得其解的问题。

今晚，他的思绪特别活跃，以至于很难入睡。如果有一张星星的位置图……可是天上的星星那么多，而且星空也不断地变化，怎么可能画好呢？即使画出来了，要寻找某一颗星星时，还得拿出整张图来，多么不方便！要是能用几个简单的数字来表示就好了……

突然，一阵哨声响起，帐篷外传来了教官的脚步声，是教官来查营了。

笛卡儿赶紧起身，敬礼道：“您好，长官！”

教官回礼后，将笛卡儿拉出了帐篷，说：“你不是整天想要用数字来表示天上的星星的位置吗？”

“是的，长官！”笛卡儿一听到这话，非常兴奋，“可是，怎么表示呢？”

只见教官从身后抽出2支箭，将箭搭成一个“十”字形，并将这“十”字高举过头，对笛卡儿说：“你看，假设我们把天空看成一个平面，这个‘十’字架将平面分成4个部分。再假定这2支箭能朝４个方向射得无限远，那么，无论天上有多少颗星星，每一颗星星只要向这2支箭上分别引出2条垂直线，就可以得到2个数字。这样，这颗星星的位置不就能轻而易举地确定了吗？”

“对呀！”笛卡儿恍然大悟，兴奋不已，猛地抱住了长官……

突然，笛卡儿睁开眼睛，发现自己正紧紧地拥抱军用毛毯呢，根本就没有什么教官！原来只是一个梦。笛卡儿忙用力捏了一下自己的大腿，痛！刚才真的是在梦中。

不过，这个奇特的梦却启示了他。醒来后，笛卡儿马上整理了自己的思路，最后，坐标系在脑海里形成了。

首先，笛卡儿建立了2条数轴，它们之间垂直交叉，交叉点称为原点。这两条数轴分别命名为x轴和y轴。也就是今天的平面直角坐标系。有了这个坐标系之后，如果平面内有一点，并且已知这点分别到两条坐标轴的垂直距离，即可确定这一点的位置；反之亦然。这样，笛卡儿通过坐标系的建立，确定了平面上的点与有顺序的实数对（x，y）之间的一一对应关系，从而架起了一座沟通几何与代数的桥梁，为后来各门学科的进一步发展提供了简捷的手段。

设直线过定点P（x0,y0）,则A对应的参数是t1 ,B对应的参数是t2。

且|AP|=|t1|,|BP|=|t2|，假设|t1| >|t2|:

1当A，B位于P的同侧时，t1,t2同号，|AB|=|AP|-|BP|=|t1|-|t2|=|t1-t2|；

26当A，B位于P的异侧时，t1,t2异号，|AB|=|AP|+|BP|=|t1|+|t2|=|t1-t2|。

扩展资料:

直线方程简介(t的几何意义)

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；

只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

参考资料:-直线方程