测度的完备性，即零测集的子集都可测，究竟有啥意义？

顾名思义就是让所有西格玛代数内的集合都有测度值，由于西格玛域的结构，所有的集合都可以由一类交集为最小单位，可数并得到，所以在零测集上完备化，就可以完成对所有集合的完备化。完备化的好处在于，你处理任何与该测度有关的问题时，不用担心它在西格玛域的某个集合上是不是没定义。

对于包含零测度集的代数，它的代数运算（并、交、差等）通常是右连续的。也就是说，对于任意两个集合 A 和 B，只要 A 是代数中的一个集合，那么集合运算 A-B（A 与 B 的差）也将是代数中的一个集合。

这个结论的证明可以通过代数的定义和零测度集的性质来实现。代数的定义要求在运算中保持封闭性，而零测度集是一个不影响测度的集合，因此可以将其视为单独的元素，作为运算中的一部分。利用这一点，可以证明代数的运算固有的右连续性。

零测集的子集可测。R的子集是零测集，如果对于每一个ε > 0，它都可以用可数个n个区间的乘积来覆盖，其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。

注意事项：

如果R的子集的豪斯多夫维数小于n，那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于R上的欧几里得度量，或任何与其等价的利普希茨度量。

另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。