函数极限的高数题，求详细过程，

三（2）等价变化 =x^2(x/2)/[x³]=1/2 说明x->0 时arctanx，ln(1+x),sinx 等价于x

1-cosx=2sin²(x/2)等价于x²/2

(3) t=1-x t->0 limt sin(π/2-πt/2)/cos(π/2-πt/2)=lim(2/π)[(πt/2)/sin(πt/2)]cos(πt/2)=2/π

(5) x->0- e^(1/x)->0 arctan(1/x)->(- π/2) 左极限=π/2

x->0+ e^(-1/x)->0 arctan(1/x)->(π/2) 右极限=π/2

注：e^(1/x)+1/e^(1/x)-1=1+e^(-1/x)/1-e^(-1/x)

左极限=右极限=π/2 原极限存在=π/2

四 x=0 f(x)=0

x>0 lime^(-nx)=0 f(x)=lim [xe^(-nx)+x^2]/[e^(-nx)+1]=x^2

x<0 lime^(nx)=0 f(x)=lim [x+x^2e^(nx)]/[1+e^(nx)]=x

x≠0 时f(x)连续

x->0+ limf(x)=0 x->0- limf(x)=0

x->0 limf(x)=0=f(0) 在0点连续

f(x)连续

五、夹逼定理 等式<[1+2++n]/[n^2+n+1]=[n^2+n]/[2(n^2+n+1)]->1/2

等式>[1+2++n]/[n^2+n+n]=[n^2+n]/[2(n^2+n+n)]->1/2

原极限=1/2

六 a(1)=2 a(n+1)=2+1/a(n) 显然a(n)>2

a(n+2)-a(n)=1/a(n+1)-1/a(n-1)=-[a(n)-a(n-1)]/[a(n+1)a(n-1)]

a(3)=12/5>a(1) ,a(4)=29/12<a(2)

可证明到{a(2n)}单调下降，{a(2n-1)}单调上升

还可以证明 a(2n+1)-a(2n)=1/[2+1/a(2n-1)]-1/[2+1/a(2n-2)]

=[a(2n-1)-a(2n-2)]/{a(2n-2)a(2n-1)[2+1/a(2n-1)][2+1/a(2n-2)]}

且a(3)<a(2) 可以证明a(2n+1)<a(2n)<a(2)

{a(2n)}单调下降有下届，极限存在 ,{a(2n-1)}单调下降有上届，极限存在

设lima(2n)=x lima(2n-1)=y

由a(2n)=2+1/a(2n-1) 两边取极限可得 x=2+1/y

由a(2n+1)=2+1/a(2n) 两边取极限可得 y=2+1/x

x-y=1/y-1/x=(x-y)/[xy] 可得到x=y

所以x=2+1/x 解得x=1+√2 或1-√2

由于a(n)>2 所以x>2 所以x=y=1+√2

所以liman=1+√2

高数考研极限题。

1你的做法错在第二个等号，你的每一项展开式代替，这样和差的运算是错误的。

2答案的做法就是直接对原式使用洛必达法则，分子分母同时求导，并用到第二个重要极限定理。

3高数极限题，用洛必达法则是没有同阶的要求的，只要分子分母同时趋于0或无穷即可以用的。

极限给“无穷逼近”的思想了一个严格的数学定义，没有这个基础，以后的微分、积分可以说是不可信的，不牢靠的。在牛顿和莱布尼兹发明微积分时就受到过各种责难，其中影响最大的就是对“无穷小”的定义。由于当时还没有对极限的准确定义，所以人们对这门学科实际上是持怀疑态度的，也就是认为虽然微积分可以当作一个工具使用来解决某些问题，但它未必就是正确的。直到极限的准确定义出现后，微积分才成为真正意义上的科学。